Для изготовления брусьев длиной 1,2 м, 3 м и 5 м в соотношении 2:1:3 на распил поступают 195 бревен длиной 6 м. Определить план распила, обеспечивающиймаксимальное число комплектов. Составить экономико-математическую модель задачи.
Решение. Прежде всего определим всевозможные способы распила бревен, указав соответствующее число получаемых при этом брусьев.
| Способ распила j | Число получаемых брусьев длиной, м | ||
| 1,2 | 3,0 | 5,0 | |
| - | - | ||
| - | |||
| - | - | ||
| - | - |
Обозначим: x j— число бревен, распиленных j-ым способом (j =1,2,3,4); x — число комплектов брусьев.
Учитывая, что все бревна должны быть распилены, а число брусьев каждого размера должно удовлетворять условию комплектности, экономико-математическая модель задачи приметвид:
f = x → max
при ограничениях: 
Пример решения задачи оптимального раскроя
Исходная постановка задачи
Для изготовления парников используется материал в виде металлических стержней длиной 220 см. тот материал разрезается на стержни длиной 120, 100 и 70 см. Для выполнения заказа требуется изготовить 80 стержней длиной 120 см, 120 стержней длиной 100 см и 102 стержня длиной 70 см.
Вопросы:
1. Сколько существует рациональных способов раскроя?
2. Какое минимальное количество материала следует разрезать, чтобы выполнить заказ?
3. Сколько способов раскроя следует использовать при выполнении заказа?
Составим для наглядности таблицу исходных данных. Определяем все рациональные способы раскроя материала на заготовки. Таких способов оказывается пять:
| Виды заготовок | Способы раскроя из стержня 220 см | ||||
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | |
| Заготовка 120 см | |||||
| Заготовка 100 см | |||||
| Заготовка 70 см | |||||
| Величина отходов, см |
Таким образом, можем ответить на первый вопрос задачи. Получаем пять рациональных способов раскроя
Для нахождения решения используем модель А для одного вида материала.
Формальная математическая постановки задачи
Константы
1. Пусть akj – количество (целое число) заготовок вида k, полученных при раскрое единицы k- го материала j -м способом; где k=1,2,3; j=1,2,3,4,5 (в данной задаче i=k).
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| akj = | 1 | 0 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 3 |
2. Пусть bk – число заготовок вида k в комплекте, поставляемом заказчику; k – индекс вида заготовки, к = 1,2,3.
b1 =80 – число заготовок длиной 120 см;
b2 =120 – число заготовок длиной 100 см;
b3 =102 – число заготовок длиной 70 см;
Переменные
1. Обозначим через xj – количество единиц материала, раскраиваемых по j -му способу (интенсивность использования способа раскроя), то есть:
x1 – количество материала, раскраиваемого по способу 1;
…
x5 - количество материала, раскраиваемого по способу 5.
2. Обозначим через Fk фактическое количество заготовок k, то есть
F1 – фактическое количество заготовок 120 см;
F2 – фактическое количество заготовок 100 см;
F3 – фактическое количество заготовок 70 см.
3. Обозначим через N количество материала (количество металлических стержней длиной 220 см), которое следует разрезать, чтобы выполнить заказ.
Решение
1.Зададим математическую модель нахождения фактического количества заготовок k
2. Зададим математическую модель нахождения общего количества материала (количества металлических стержней длиной 220 см) N=x1+x2+x3. Его минимизация является целью решения задачи. Следовательно, целевая функция будет иметь вид:
Ограничения
1. Количество заготовок, необходимое для выполнения заказа, должно быть не менее требуемого количества
2. Количество заготовок должно быть целым числом.
3. Поскольку x1, x2, x3, x4, x5,выражают количество заготовок, то они не могут быть отрицательны, то есть x1≥0; x2≥0; x3≥0; x4≥0, x5≥0.