ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4
Цель работы: обучение методам анализа временных рядов в частотной области.
1 Основные сведения
1.1 Сущность спектрального анализа
Теория спектрального анализа (СА) основана на равносильности представления функций во временной и частотной областях с помощью преобразования Фурье. Фундаментом СА временных рядов является теорема Винера–Хинчина, которая устанавливает связь между двумя характеристиками случайного процесса: спектральной плотностью мощности и автоковариационной функцией.
На практике из-за неполноты имеющейся информации приходится иметь дело не со строгими характеристиками (СП, АКВФ), а только с их оценками: периодограммой и коррелограммой, соответственно.
Некоторое представление о характере сигнала могут дать его энергия или мощность, но более полное - разложение по отдельным компонентам или простым колебаниям. Аналогом такого подхода является описание человека по его носу, глазам, лбу и т.п. Идея СА заключается в трансформации области анализа ряда: исходный ряд есть функция времени, а СА осуществляет изучение свойств ряда в частотной области. Переход от исходного временного ряда f (t) к частотному представлению проводится посредством выражений
Здесь f (t) - временной ряд; F (ω) - спектральная плотность.
Приведенные равенства определяют прямое и обратное преобразование Фурье.
В СА исследуются периодические модели данных. Цель анализа - разложить комплексные временные ряды с циклическими компонентами на несколько основных синусоидальных функций с определенной длиной волн. В результате успешного анализа можно обнаружить всего несколько повторяющихся циклов различной длины в интересующих вас временных рядах, которые, на первый взгляд, выглядят как случайный шум.
СА позволяет оценить наличие циклических (сезонных) компонентов в имеющихся данных. По полученной периодограмме (графическому изображению спектральной плотности) временного ряда в частотной области можно выявить наличие или отсутствие выбросов, а по ним судить о присутствии периодического компонента в исследуемом сигнале. Такая возможность появляется вследствие того, что находящаяся под знаком интеграла показательная функция представляет собой так называемую базисную функцию, состоящую из набора гармонических составляющих.
Спектральная плотность (СП) определяет распределение энергии сигнала по частоте. Например, при исходном сигнале, представляющем собой гармонический сигнал (синусоиду определенной частоты), его СП показывает только одну вертикальную составляющую: вся энергия сосредоточена на одной частоте. Если сигнал - белый шум, то СП такого сигнала представляет собой горизонтальную линию: равномерное распределение энергии.
2 Работа на компьютере
Выполнение работы производится с программным пакетом Statistica; версия 6.1.
1. Открыть через меню Файл – Открыть – Datasets файл данных Sunspot. Данные представляют собой наблюдаемые в период с 1749г. по 1924г. значения солнечных пятен. От этой величины зависят погодные условия на Земле, активность человека, телекоммуникации и прочие явления. В данной работе необходимо проверить цикличность солнечной активности.
2. Из меню Анализ – Углубленные методы анализа выбрать Временные ряды и прогнозирование для отображения стартовой панели Анализ временных рядов и открытия диалога. Отметим, что в открытом файле имеется только одна переменная Spots (Пятна), поэтому при открытии диалога эта переменная выбирается автоматически (рис.1).
Рис.1. Стартовая панель
Далее нажать кнопку Фурье (спектральный) анализ для отображения диалога Спектральный анализ (рис.2).
Рис.2. Диалоговое окно спектрального анализа
Перед проведением СА необходимо построить график исходных данных. Файл данных Sunspot.sta в качестве строк содержит соответствующие годы наблюдений. Для использования их на линейном графике необходимо выделить закладку Прогноз и в разделе Пометить точки на оси Х указать опцию Именами наблюдений. Кроме того, в поле Просмотр и построение графиков переменных выбрать опцию Задать масштаб оси Х вручную и Мин. = 1, а Шаг = 10. Затем нажать кнопку График, следующую за кнопкой Просмотр выделенной переменной. График - на рис.3.
Рис.3. Исходный временной ряд
3. Полученный график имеет циклический характер и демонстрирует отсутствие тренда. Вследствие этого необходимо в поле Преобразование входного ряда, которое появляется при закладке Дополнительно, отменить выделение опции Удалить линейный тренд в группе Преобразование исходного ряда. Очевидно, что среднее значение ряда больше нуля, поэтому необходимо указать метку Вычесть среднее. В противном случае на графике периодограммы может появиться большой выброс на нулевой частоте.
Теперь все готово для начала анализа. Необходимо щелкнуть ОК по кнопке Одномерный анализ Фурье, и на мониторе отобразится окно диалога Результаты спектрального анализа (рис.4).
Рис.4. Окно результатов спектрального анализа временного ряда
4. Просмотр результатов. В верхней части окна показаны некоторые суммарные статистики для этого ряда и, кроме того, 5 наибольших пиков периодограммы по частоте. Первые 3 пика имеют место на частотах: 0,0852; 0,0909 и 0,0114. Эта информация полезна при анализе очень длинных рядов (например, содержащих порядка 100000 наблюдений), которые не могут быть отображены на одном графике. Однако в этом случае может быть легко получена периодограмма, при построении которой используется вся информация. Периодограмма появляется после инициирования кнопки Периодограмма при закладке Быстрая (рис.5).
Рис.5. Периодограмма ряда
5. На периодограмме наблюдаются два явных пика, наибольший из которых находится на частоте, равной примерно 0,09. Для просмотра значений всей периодограммы необходимо вернуться в окно Результаты спектрального анализа и щелкнуть кнопку Итог, чтобы увидеть все значения периодограммы (и другие результаты) в таблице результатов. Ниже показана часть таблицы результатов с наибольшим пиком, установленным по периодограмме (см. табл.1).
Таблица 1. Результат спектрального анализа
Параметр Частота представляет собой число циклов в единицу времени (где каждое наблюдение рассматривается как занимающее единицу времени). Таким образом, частота, равная 0,0909 соответствует параметру Период, т.е. количеству единиц времени, необходимых для завершения одного полного цикла,равному 11. Так как данные о солнечных пятнах представляют ежегодные наблюдения, можно сделать вывод о наличии явно выраженного 11-летнего цикла солнечной активности.
6. Спектральная плотность. Обычно для получения оценок СП используется сглаживание периодограммы, при котором также происходит исключение случайных флуктуаций. Вид взвешенного скользящего среднего и ширина окна сглаживания выбирается в поле С пектральные окна, которое появляется при включении расширенной опции Дополнительно. Для нашего примера оставим выбранное по умолчанию окно (Хемминга ширины 5) и выберем график Спектральной плотности (рис.6).
Рис.6. Спектральная плотность
Два пика теперь видны более ясно. Можно просмотреть также значения периодов, выделенных в этом временном ряду. Посмотрим на значения периодограммы по периоду. Выделить поле Период в разделе График и указать график Спектральной плотности.
Появившийся график (рис.7) показывает зависимость СП от периода (в годах), откуда ясно виден четкий 11-летний цикл в активности солнечных пятен. Кроме того, имеется еще один более длинный примерно 80- 90 - летний цикл.
Рис.7. Зависимость спектральной плотности от периода
7. Частотные окна позволяют найти область частот, которые дают наибольший вклад в периодическое поведение ряда. Это может быть выполнено путем сглаживания периодограммы посредством взвешенного скользящего среднего (СС).
Положим, что окно СС имеет ширину m, которая обычно принимается нечетной. Кроме того, между шириной окна и параметром р, определяющим часть данных, которые «сужают» обрабатываемые данные в начале и конце ряда за счет конечной ширины, существует соотношение: p = (m-1)/2.
Укажем наиболее распространенные в спектральном анализе окна:
· Окно Даниэля (окно с равными весами) - этот прием сглаживания сводится к простому (с равными весами) преобразованию значений периодограммы. Каждая оценка СП вычисляется как среднее из m/2 предшествующих и m/2 последующих значений периодограммы.
· Окно Тьюки - здесь веса для взвешенного СС значений периодограммы вычисляются по формуле:
при 
,
· Окно Хэмминга - для каждой частоты веса для взвешенного СС значений периодограммы определяются как 
· Окно Парзена - в этом случае веса на каждой частоте определяются следующим образом
· Окно Бартлета - весовые коэффициенты здесь рассчитываются по формуле
при
За исключением окна Даниэля все весовые функции будут присваивать большие значения весов наблюдениям, находящимся в центре окна, и по мере удаления от центра веса становятся меньше. Во многих случаях различные окна будут приводить примерно к одинаковым результатам, однако представляется интересным провести анализ одного и того же ряда с использованием различных окон.
3 Задание
1. Для файла Series_ G провести спектральный анализ с помощью окон Хемминга и Парзена и оценить наличие цикла (сезонности) в ряде.
2. Смоделировать ряд (модель броуновского движения) по формуле:
Xt = Xt – 1 + at.
Здесь at - нормально распределенная случайная величина со средним значением, равным 0, и СКО, равным 1; начальное значение Xt = 0; объем моделирования составляет 200 точек. Розыгрыш проводится в Excel.
3. Провести спектральный анализ полученного ряда.
Вопросы к защите работы
1. Что определяет автоковариационная функция (АКВФ) временного ряда?
2. В чем отличие АКВФ от автокорреляционной функции (АКФ)?
3. Что является аргументом спектральной плотности (СП)?
4. Чем отличается АКФ гармонического сигнала (синусоиды) от АКФ белого шума?
5. Чем отличается СП гармонического сигнала (синусоиды) от СП белого шума?
6. Как изобразить СП сигнала, состоящего из двух синусоид разной частоты?
7. Зачем проводится анализ временных рядов в частотной области?