Пусть 
: 
– полиномиальная система, где каждый 
– моном, такой, что 
, где 
– неотрицательное целое число. То есть, 
может быть описано матрицей 
. В первую очередь связывается 
с Булевой мономиальной системой 
и линейной системой 
над кольцами 
. В работе «Булевы мономиальные системы» называется системой конечных элементов если все конечные циклы заключаются в фиксированном элементе. Покажем что – конечный элемент системы тогда, и только тогда, когда и 
– системы конечных элементов.
Определение 1.2.1.
Для 
, мы определим базис 
, обозначенный supp(u), равный 
, где
Мономиальная система порождает Булеву мономиальную систему 
на 
с параметрами 
, где 
и v=supp(u).
Лемма 1.2.1.
- коммутативная диаграмма.
Доказательство.
Это прямо доказывается тем что supp(f(u))=f(supp(u)).
Так как 
на множестве всех 
таких, что supp(u)=u, появляется следующие прямые следствия.
Следствие 1.2.1.
Фазовое пространство – подграф фазового пространства .
Следствие 1.2.2.
Предположим что 
– система конечных элементов. Если 
– цикл в фазовом пространстве , тогда 
для всех 
.
Пример 1.2.1.
Пусть 
.
- состоит из всех возможных наборов длины 3 из трёх элементов: 0, 1, 2.
Это наборы:
Используя функцию 
, определим переходы в фазовом пространстве .
000 - 
,
001 - 
,
002 - 
,
010 - 
,
020 - 
,
100 - 
,
200 - 
,
111 - 
,
110 - 
,
112 - 
,
101 - 
,
121 - 
,
011 - 
,
211 - 
,
222 - 
,
220 - 
,
221 – 
,
202 - 
,
212 - 
,
022 - 
,
122 - 
,
012 - 
,
021 - 
,
210 - 
,
102 - 
,
120 - 
,
210 - 
,
201 - 
,
Так как 
, то 
. Используя эту функцию, определим переходы в фазовом пространстве 
.
000 - 
,
001 - 
,
010 - 
,
100 - 
,
101 - 
,
011 - 
,
110 - 
,
111 - 
.
На рисунке 1.2.1 и 1.2.2 изображены фазовое пространство системы 
и ее «Булеанизяция» , соответственно.
Рис. 1.2.1. Фазовое пространство .
Рис. 1.2.2. Фазовое пространство .
Затем связывается 
с 
- размерной линейной системой над конечным кольцом. Заметим сначала что 
– изоморфный, как Абелева группа, для 
через изоморфизм 
, появляется возможность генератора для циклической группы 
. В первую очередь обратим внимание, что множество векторов 
со всеми ненулевыми вхождениями – постоянны для .
Пусть 
– генератор для циклической группы 
,и пусть 
.
Тогда 
.
Определение 1.2.2.
Обозначим 
для 
.
Видно что 
– линейное преобразование 
- элемента. Но можно рассматривать его, как линейное преобразование для 
- элемента, рассматривая 
как конечное кольцо, которое обозначим – 
. То есть, имеется линейное преобразование 
.
Это доказывает следующую лемму.
Лемма 1.2.2.
- коммутативная диаграмма.
Обратим внимание, что вертикальные стрелки – изоморфизмы. Это значит, что они сохраняют фазовое пространство структуры, включая длину конечных циклов. В частности, имеется следующее следствие.
Следствие 1.2.3.
Фазовое пространство изоморфно к подграфу фазового пространства , состоя из всех наборов с базисным вектором 
.
Пример 1.2.2.
Для мономиальной системы в примере 1.2.1, 
определим 
, где
.
Рассчитаем переходы в фазовом пространстве .
000 - 
,
001 - 
,
010 - 
,
011 - 
,
100 - 
,
101 - 
,
110 - 
,
111 - 
.
Фазовое пространство изображено на рисунке 1.2.3.
Рис. 1.2.3. Фазовое пространство .
Теорема 1.2.1.
Пусть 
– мономиальная динамическая система. Тогда – система конечных элементов тогда, и только тогда, когда 
и – системы конечных элементов.
Доказательство.
Из следствий 1.2.1 и 1.2.3, если – система конечных элементов, то 
и 
тоже системы конечных элементов. Для доказательства от противного, предположим что 
и 
– системы конечных элементов, а – нет. Для каждого конечного цикла , любой из двух связанных наборов имеет все координаты ненулевые, или все наборы имеют минимум одну нулевую координату. В первом случае из этого следует, что имеет конечный цикл, той же длины. Следовательно, если имеет конечный цикл длины большей чем 
, тогда включаются только наборы имеющие минимум одну нулевую координату.
Пусть 
– наборы в конечном цикле. Так как этот конечный цикл должен отображать конечный элемент для из этого следует, что 
имеет тот же самый базисный вектор, то есть, тот же самый образец нулевых вхождений, и отличается только в ненулевых координатах. Кроме того, мономы в ненулевых координатах не включают никакие переменные, соответствующие нулевым координатам. Таким образом, если построить новый набор 
, заменяя каждый 
в , на , – будет частью конечного цикла длины, по крайней мере 
, что является противоречием. Это доказывает теорему.