Пример выполнения задачи представлен на рисунке 3.
Рисунок 3
Дано: наклонный конус (или цилиндр) и прямая а общего положения.
Требуется: определить точки пересечения прямой а с поверхностью.
Указания к выполнению задачи. Задачу решить в следующей последовательности:
1) На прямой пересечения выбрать некоторую точку, через которую провести вторую прямую, проходящую через вершину конуса (или расположенную параллельно образующей цилиндра).
2) Эти пересекающиеся прямые задают некоторую «качающуюся» плоскость, фронтальный (или горизонтальный) след которой строиться в той же плоскости, в которой находится основание поверхности.
3) Определить точки пересечения основания поверхности и следа плоскости, провести через них прямые - образующие конуса (или цилиндра).
4) Так как построенный треугольник (или четырехугольник) и прямая пересечения лежат в одной «качающейся» плоскости, то они пересекаясь, определяют искомые точки пересечения прямой и поверхности.
6) Определить положение границ видимости поверхности, видимость точек пересечения и прямой в обеих проекциях.
7) Выполнить обводку очерка поверхности.
На рисунках 3 и 4 изображены примеры решения задач способом «качающихся» плоскостей при построении точек пересечения прямой с конусом (рисунок 3) и прямой с цилиндром (рисунок 4).
Рисунок 3 – Пересечение прямой с конусом способом плоскости общего положения
Рисунок 4 – Пересечение прямой с цилиндром способом плоскости общего положения
Задача №2
Образец выполнения задачи 2 представлен на рисунке 11 приложения В.
Дано: поверхность открытого тора и прямая общего положения.
Требуется: построить точки пересечения прямой с поверхностью.
Указания к выполнению задачи. Задачу решить в следующей последовательности:
1) Одну из проекций прямой заключить во вспомогательную проецирующую плоскость.
2) Построить линию пересечения введенной плоскости с поверхностью тора.
Для этого необходимо:
а) определить положение опорных (характерных) точек на линии пересечения тора с введенной плоскостью;
б) между опорными точками ввести несколько вспомогательных секущих плоскостей уровня так, чтобы поверхность тора пересекалась по окружностям, которые затем вычерчиваются на другой проекции. Или, наоборот, ввести вспомогательные окружности, определив место их положения на другой проекции тора;
в) определить точки пересечения проецирующей плоскости с построенными окружностями;
г) полученные точки соединить плавной кривой линией с учетом видимости.
3) Построенная плоская кривая линия и прямая пересечения лежат в одной и той же введенной проецирующей плоскости, поэтому они, пересекаясь, и определяют положение точек принадлежащие и той и другой поверхности, а, следовательно, являются искомыми точками пересечения прямой с поверхностью тора.
4) Определить положение границ видимости открытого тора, видимость точек пересечения и прямой в обеих проекциях.
5) Выполнить обводку очерка поверхности.
Задача №3
Образец выполнения задачи 3 представлен на рисунке 12 приложения В.
Дано: две поверхности.
Требуется: способом вспомогательных секущих плоскостей построить линию пересечения поверхностей.
Указания к выполнению задачи. Задачу выполнить на левой половине листа в следующей последовательности:
1) Определить опорные (характерные) точки, лежащие на линии пересечения поверхностей.
2) Ввести вспомогательные секущие плоскости уровня. Плоскости ввести таким образом, чтобы они пересекали обе поверхности по окружностям или по прямым линиям (если это гранная поверхность).
3) С помощью введенных плоскостей определить положение дополнительных точек, лежащих на линии пересечения поверхностей. Для этого необходимо условно рассечь обе поверхности каждой вспомогательной плоскостью и построить точки пересечения линий пересечения введенной плоскости с поверхностями.
4) Определить положение общих границ видимости поверхностей, видимость проекций точек пересечения и линии пересечения. При необходимости определяется также положение точек видимости линии пересечения, т.е. точек, лежащих на линии пересечения поверхностей и границе видимости. При помощи этих точек определяются точки, до которых линия пересечения в соответствующей проекции видна и не видима.
5) Выполнить обводку очерков поверхностей.
Суть способа вспомогательных секущих плоскостей при решении задачи на построении линии пересечения поверхностей дана на рисунке 3.
Рисунок 3 – Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей
Задачи №4,5
Решить задачи на построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных концентрических и эксцентрических сфер. Для определения того или иного способа решения задач, необходимо чтобы на исходных данных задачи выполнялись соответствующие условия.
Условия применения способа вспомогательных концентрических сфер:
1. Обе поверхности должны являться поверхностями вращения.
2. Оси поверхностей вращения должны пересекаться в пределах чертежа.
3. Для обеих поверхностей вращения должна существовать общая плоскость симметрии, параллельная какой-либо плоскости проекций.
4. Поверхности должны быть заданы очерками.
Условия применения способа вспомогательных эксцентрических сфер:
1. Одна из поверхностей должна являться поверхностью вращения.
2. Вторая поверхность должна иметь семейство окружностей (наклонный круговой конус, наклонный круговой цилиндр, открытый тор).
3. Для обеих поверхностей вращения должна существовать общая плоскость симметрии, параллельная какой-либо плоскости проекций.
4. Поверхности должны быть заданы очерками.
Задача №4
Образец выполнения задачи 4 представлен на рисунке 13 приложения В.
Дано: две пересекающиеся криволинейные поверхности.
Требуется: способом вспомогательных секущих концентрических сфер построить линию пересечения поверхностей.
Указания к выполнению задачи: Задачу решить в следующем порядке:
1) По фронтальной проекции очерков поверхностей построить их горизонтальную проекцию, принимая во внимание выполнение условий соответствующего способа построения.
2) Определить опорные точки пересечения очерковых образующих одной поверхности с другой.
3) Определить максимальный и минимальный радиусы вписанных сфер, центры которых сконцентрированы в точке пересечения осей вращения поверхностей. Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра вспомогательных сфер до наиболее удаленной опорной точки. Радиус минимальной сферы определяется наибольшим кратчайшим расстоянием от центра вспомогательных сфер до очерковых поверхностей.
4) В интервале между максимальной и минимальной сферами ввести вспомогательные рабочие концентрические сферы, которые должны вычерчиваться исходя из следующего условия: Rmin≤ Rвспом.сф.<Rmax.
5) Каждая вспомогательная рабочая сфера пересекается с каждой из данных поверхностей по окружности, как соосные поверхности. В свою очередь полученные окружности также пересекаются в двух точках, так как лежат на одной и той же поверхности вспомогательной сферы. Эти точки лежат на окружностях, принадлежащих и той и другой поверхности, а, следовательно, принадлежат этим поверхностям и лежат на их линии пересечения.
6) Определить положение общих границ видимости поверхностей, видимость проекций точек пересечения и линии пересечения. При необходимости определить положение точек видимости на линии пересечения поверхностей.
7) Выполнить обводку очерков поверхностей.
Основной принцип построения линии пересечения поверхностей способом концентрических сфер показан на рисунке 4.
Рисунок 4 – Принцип построения линии пересечения поверхностей способом концентрических сфер
Задача №5
Образец выполнения задачи 5 представлен на рисунке 12 приложения В.
Дано: две пересекающиеся криволинейные поверхности.
Требуется: способом вспомогательных секущих эксцентрических сфер построить линию пересечения поверхностей.
Указания к выполнению задачи: задачу выполнить в правой половине листа в следующем порядке:
1) По фронтальной проекции очерков поверхностей построить их горизонтальную проекцию, принимая во внимание выполнение условий соответствующего способа построения.
2) Определить опорные точки пересечения очерковых образующих одной поверхности с другой.
3) Между опорными точками ввести вспомогательные секущие плоскости так, чтобы поверхность (наклонный конус, наклонный цилиндр или открытый тор) рассекалась по окружностям (круговым сечениям).
4) Из центра каждого кругового сечения к введенной плоскости необходимо восстановить перпендикуляр и найти точку пересечения этого перпендикуляра с осью вращения второй поверхности. Полученная точка является центром вспомогательной секущей сферы, радиус которой определяется расстоянием от этой точки до крайних точек кругового сечения, т.е. до точек пересечения вспомогательной введенной плоскости с очерком соответствующей поверхности. Вспомогательная рабочая сфера пересекается с поверхностью вращения по окружности (как соосные поверхности). Построенные окружности на той и другой поверхности пересекаются в двух точках, так как лежат на одной и той же поверхности вспомогательной сферы, а, следовательно, лежат на линии пересечения данных поверхностей.
5) Определить положение общих границ видимости поверхностей, видимость проекций точек пересечения и линии пересечения. При необходимости определить положение точек видимости на линии пересечения поверхностей.
6) Выполнить обводку очерков поверхностей.
Основной принцип построения линии пересечения поверхностей способом эксцентрических сфер показан на рисунке 5.
Рисунок 5 – Принцип построения линии пересечения поверхностей способом эксцентрических сфер
Задача №6
Исходными данными для выполнения задачи является поверхность, указанная в таблице 1 Приложения А (читать примечание после таблицы).
Образец выполнения задачи 6 представлен на рисунке 13 приложения В.
Дано: поверхность
Требуется: построить полную развёртку поверхности с нанесением на ней точек (или линии) пересечения.
Указания к выполнению задачи: прежде чем приступить к построению развертки необходимо определить наиболее удобный способ её построения.
Так для построения развертки призматической поверхности возможно применение следующих способов:
- способ «нормального» сечения, если боковые ребра призмы являются линиями уровня (или предварительно преобразовав их в линии уровня), а основания являются плоскостями общего положения;
- способ «раскатки», если боковые ребра призмы являются линиями уровня (или предварительно преобразовав их в линии уровня), и хотя бы одно из оснований является плоскостью уровня.
Для построения развертки цилиндрической поверхности применяют те же способы, что и для призматических поверхностей. В обоих случаях цилиндрическую поверхность аппроксимируют призматической поверхностью, вписанной (или описанной) в данную цилиндрическую.
Для построения развертки пирамиды и конической поверхности используют способ треугольников (триангуляции). При этом коническая поверхность аппроксимируется вписанной (или описанной) в нее пирамидальной поверхностью.
Следует иметь ввиду, что при построенные приближенных разверток цилиндрической и конической поверхностей чем число граней у вписанных (описанных) гранных поверхностей больше, тем меньше будет разница между действительными и построенными развертками поверхностей.
При необходимости вычерчивается подготовительный этап построения развертки поверхности, на котором решаются задании на нахождения натуральных величин соответствующих отрезков прямых, применяя способы преобразования комплексного чертежа.
На развертке изображается боковая поверхность, основание (или основания), линия пересечения с другой поверхностью или точки пересечения прямой с поверхностью.
Приложение А
Таблица 1 - Исходные данные для вариантов задания «Позиционные задачи с поверхностями
| № варианта | Порядковый номер задачи | |||||
| Вариант задачи | ||||||
| призма | ||||||
| цилиндр | ||||||
| цилиндр | ||||||
| - | ||||||
| цилиндр | ||||||
| конус | ||||||
| цилиндр | ||||||
| конус | ||||||
| - | ||||||
| конус | ||||||
| - | ||||||
| конус | ||||||
| - | ||||||
| цилиндр | ||||||
| - | ||||||
| цилиндр | ||||||
| призма | ||||||
| цилиндр | ||||||
| цилиндр | ||||||
| конус | ||||||
| конус | ||||||
| конус | ||||||
| призма | ||||||
| призма | ||||||
| призма | ||||||
| - | ||||||
| цилиндр | ||||||
| - | ||||||
| конус | ||||||
| - | ||||||
| конус | ||||||
| - | ||||||
| Примечание: выполнить развертку указанной поверхности изварианта задачи, выделенной жирным шрифтом. |
Приложение Б
Задача 1
| Вариант 1 | Вариант 2 |
| 
|
| Вариант 3 | Вариант 4 |
| 
|
| Вариант 5 | Вариант 6 |
|
|
| Вариант 7 | Вариант 8 |
| 
|
| Вариант 9 | Вариант 10 |
| 
|
| Вариант 11 | Вариант 12 |
|
|
| Вариант 13 | Вариант 14 |
|
|
| Вариант 15 | Вариант 16 |
|
|
Задача 2
| Вариант 1 | Вариант 2 |
|
|
| Вариант 3 | Вариант 4 |
|
|
| Вариант 5 | Вариант 6 |
|
|
| Вариант 7 | Вариант 8 |
|
|
| Вариант 9 | Вариант 10 |
| 
|
| Вариант 11 | Вариант 12 |
| 
|
| Вариант 13 | Вариант 14 |
|
|
| Вариант 15 | Вариант 16 |
|
|
Задача 3
| Вариант 1 | Вариант 2 |
|
|
| Вариант 3 | Вариант 4 |
|
|
| Вариант 5 | Вариант 6 |
|
|
| Вариант 7 | Вариант 8 |
| 
|
| Вариант 9 | Вариант 10 |
|
|
| Вариант 11 | Вариант 12 |
|
|
| Вариант 13 | Вариант 14 |
|
|
| Вариант 15 | Вариант 16 |
|
|
Задача 4
| Вариант 1 | Вариант 2 |
|
|
| Вариант 3 | Вариант 4 |
|
|
| Вариант 5 | Вариант 6 |
|
|
| Вариант 7 | Вариант 8 |
|
|
| Вариант 9 | Вариант 10 |
|
|
| Вариант 11 | Вариант 12 |
|
|
| Вариант 13 | Вариант 14 |
|
|
| Вариант 15 | Вариант 16 |
|
|
Задача 5
| Вариант 1 | Вариант 2 |
| 
|
| Вариант 3 | Вариант 4 |
|
|
| Вариант 5 | Вариант 6 |
|
|
| Вариант 7 | Вариант 8 |
|
|
| Вариант 9 | Вариант 10 |
|
|
| Вариант 11 | Вариант 12 |
|
|
| Вариант 13 | Вариант 14 |
|
|
| Вариант 15 | Вариант 16 |
|
|
Приложение В
Рисунок 11 – Образец выполнения КГР: задачи №1 и №2.
Рисунок 12 – Образец выполнения КГР: задачи №3 и №5.
Рисунок 13 – Образец выполнения КГР: задачи №4 и №6.
4 Контрольные вопросы
1. Алгоритм решения задачи на построение линии пересечения многогранников.
2. Алгоритм решения задачи на построение линии пересечения кривой поверхности плоскостью.
3. В чем заключается общий прием построения точек пересечения прямой с кривой поверхностью способом вспомогательных секущих плоскостей. Применение способа.
4. В чем заключается общий прием построения точек пересечения прямой с кривой поверхностью способом качающихся плоскостей. Применение способа.
5. В каких случаях применяется способ вспомогательных секущих плоскостей при построении линии пересечения поверхностей.
6. Какие поверхности называются соосными.
7. Какие условия введения вспомогательных секущих концентрических сфер должны выполняться при построении линии пересечения кривых поверхностей.
8. Какие условия введения вспомогательных секущих эксцентрических сфер должны выполняться при построении линии пересечения кривых поверхностей.
9. Определение максимальной и минимальной вспомогательных концентрических сфер.
10. Какие точки называются характерными (опорными) при построении линии пересечения двух поверхностей.
11. Какие точки называются точками видимости.
12. Что называется разверткой поверхности.
13. Какие поверхности относятся к развертываемым и условно развертываемым.
14. В каких случаях при построении развертки применяется способ «нормального сечения». Суть способа.
15. В каких случаях при построении развертки применяется способ «раскатки». Суть способа.