Энергетические зоны в кристаллах

Лабораторная работа № 8

Изучение температурной зависимости сопротивления

Металлов и полупроводников

Цель работы: основы теории электропроводности металлов и полупроводников. Исследовать температурные зависимости сопротивления меди и германия, качественно их сравнить. Определить ширину запрещенной зоны германия.

Энергетические зоны в кристаллах

Чтобы понять электронную структуру кристаллов, рассмотрим воображаемый процесс объединения атомов в кристалл Рис.1. Пусть первоначально имеется N изолированных атомов какого-либо вещества. Пока атомы изолированы друг от друга, они имеют полностью совпадающие схемы энергетических уровней. Заполнение уровней электронами осуществляется в каждом атоме независимо от заполнения аналогичных уровней, в других атомах. По мере сближения атомов между ними возникает все усиливающееся взаимодействие, которое приводит к изменению положения уровней. Вместо одного одинакового для всех N атомов уровня возникают N очень близких, но не совпадающих уровней. Таким образом, каждый уровень изолированного атома расщепляется в кристалле на N густо расположенных уровней, образующих полосу или зону.

Рис.1. Расщепления уровней энергии атома при их сближении	Рис. 2 Энергетический спектр электронов в кристалле

Величина расщепления для разных уровней не одинакова. Сильнее возмущаются уровни, заполненные в атоме внешними электронами. Уровни, заполненные внутренними электронами, возмущаются мало. На рис..1 показано расщепление уровней как функция расстояния r между атомами. Из схемы видно, что возникающее в кристалле расщепление уровней, занятых внутренними электронами, очень мало.

Заметно расщепляются лишь уровни, занимаемые валентными электронами. Такому же расщеплению подвергаются и более высокие уровни, не занятые электронами в основном состоянии атома.

В зависимости от конкретных свойств атомов равновесное расстояние между соседними атомами в кристалле может быть либо типа r₁, либо типа r₂ (см. рис.1). При расстоянии типа r₁ между разрешенными зонами, возникшими из соседних уровней атома, имеется запрещенная зона. При расстоянии типа r₂ происходит перекрывание соседних зон. Число уровней в такой слившейся зоне равно сумме количеств уровней, на которые расщепляются оба уровня атома.

Итак, спектр возможных значений энергии валентных электронов в кристалле распадается на ряд разрешенных и запрещенных зон. Рис.2. Ширина зон не зависит от размеров кристалла. Таким образом, чем больше атомов содержит кристалл, тем теснее располагаются уровни в зоне. Ширина разрешенных зон имеет величину порядка нескольких электронвольт. Следовательно, если кристалл содержит 10²³ атомов, расстояние между соседними уровнями в зоне составляет ~10^-23 эВ.

Каждый энергетический уровень отвечает определенному значению волнового числа k. Поскольку спиновое квантовое число m_s может принимать два значения, на любом разрешенном уровне могут находиться два электрона, обладающие противоположными спинами. Существование энергетических зон позволяет объяснить с единой точки зрения существование металлов, полупроводников и диэлектриков.

Разрешенную зону, возникшую, из того уровня, на котором находятся валентные электроны в основном состоянии атома, мы будем называть валентной зоной. При абсолютном нуле (энергия хаотического движения электронов равна нулю) валентные электроны заполняют попарно все нижние уровни валентной зоны, поэтому под действием внешнего электрического поля электроны не могут двигаться. Более высокие разрешенные зоны будут от электронов свободны или заполнены частично.

Рис.3 Варианты электронной структуры, реализуемые в реальных кристаллах

Такая зона называется зоной проводимости поскольку под действием электрического поля электрон может двигаться. В зависимости от степени заполнения валентной зоны электронами и ширины запрещенной зоны возможны три случая, изображенные на рис.3.

В случае а электроны заполняют валентную зону не полностью. Поэтому достаточно сообщить электронам, находящимся на верхних уровнях, совсем небольшую энергию (~10^-23 — 10^-22 эВ) для того, чтобы перевести их на более высокие уровни. Энергия теплового движения (kТ) составляет при 1 К величину порядка 10^-4 эВ. Следовательно, при температурах отличных от абсолютного нуля, часть электронов переводится на более высокие уровни. Дополнительная энергия, вызванная действием на электрон электрического поля, также оказывается достаточной для перевода электрона на более высокие уровни. Поэтому электроны могут ускоряться электрическим полем и приобретать дополнительную скорость в направлении, противоположном направлению поля. Таким образом, кристалл с подобной схемой энергетических уровней будет представлять собою металл.

Частичное заполнение валентной зоны (в случае металла ее называют также зоной проводимости) наблюдается в тех случаях, когда на последнем занятом уровне в атоме находится только один электрон или когда имеет место перекрывание зон (см. рис.1, расстояние r₂ ). В первом случае N электронов проводимости заполняют попарно только половину уровней валентной зоны. Во втором случае число уровней в зоне проводимости будет больше N, так что, даже если количество электронов проводимости равно 2N, они не смогут занять все уровни зоны.

В случае б (см. рис.3) уровни валентной зоны полностью заняты электронами — зона заполнена. Для того чтобы увеличить энергию электрона, необходимо сообщить ему количество энергии, не меньшее, чем ширина запрещенной зоны DE_g. Электрическое поле (во всяком случае, такой напряженности, при которой не происходит электрический пробой кристалла) сообщить электрону такую энергию не в состоянии. При этих условиях электрические свойства кристалла определяются шириной запрещенной зоны DE_g. Если эта ширина невелика (порядка нескольких десятых электронвольта), энергия теплового движения оказывается достаточной для того, чтобы перевести часть электронов в верхнюю свободную зону. Эти электроны будут находиться в условиях, аналогичных тем, в которых находятся валентные электроны в металле. Свободная зона окажется для них зоной проводимости. Одновременно станет возможным переход электронов валентной зоны на ее освободившиеся верхние уровни. Под действием внешнего электрического поля начнется направленное движение электронов в зоне проводимости, как отрицательных зарядов. В валентной зоне свободные места (дырки) под действием электрического поля будут двигаться как положительные заряды. Такое вещество называется собственным м полупроводником.

Если ширина запрещенной зоны DE_g велика (порядка нескольких электронвольт), тепловое движение, вплоть до температуры плавления кристалла, не сможет забросить в свободную зону заметное число электронов. В этом случае кристалл оказывается диэлектриком.