Определение. Взаимно однозначное отображение множества на себя называется преобразованием этого множества.
В дальнейшем мы будем рассматривать преобразования пространства.
Определение. Биективное отображение пространства на себя называется преобразованием пространства.
Если преобразование пространства обозначить буквой g, то запись g(A) = A' означает что точке A в пространстве ставится в соответствие точка А' этого пространства. Точка А' называется образом точки А, а точка А - прообразом точки А' при данном преобразовании g.
Два преобразования g1 и g2 пространство называются равными, если образы любой точки пространства при этих преобразованиях совпадают, то есть для любой точки М имеет место
g1(M)=M',
↔g1=g2.
g2(M)=M'
Если f - некоторая фигура пространства, то запись g(f)=f' означает, что образы всех точек фигуры f составляют фигуру f'; фигура f' называется образом фигуры f при данном преобразовании g. Так, при преобразовании пространства образов всех точек пространства является само это пространство.
Точка А пространства, которая при преобразовании g отображается на себя g(A)=A, называется неподвижной точкой этого преобразования.
Фигура f называется неподвижной фигурой данного преобразования g, если эта фигура преобразованием g отображается на себя, т.е. g(f)=f.
Рассмотрим одно из преобразований пространства.
Выберем произвольную точку О пространства. Точка М' называется симметричной точке М относительно точки О, если точка О делит отрезок MМ' пополам, то точка О считается симметричной самой себе.
Зададим теперь следующее отображение пространства на себя: любой точке М пространства поставим в соответствие точку М', симметричную относительно точки О. Так как любой отрезок имеет единственную середину, то мы получаем взаимно однозначное (биективное) отображение пространства на себя, т.е. преобразование пространства. При этом точка О отображается на себя (является неподвижной точкой данного преобразования).
Определение. Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно точки О, называется центральной симметрией пространства относительно точки О. При этом точка О отображается на себя и называется центром симметрии.
Будем обозначать центральную симметрию пространства с центром О символом ZО. Если при этой симметрии точка M отображается на точку М', то пишут:
ZО(М)= М' или М'= ZО(М).
Из определения симметричных точек следует: если точка М' симметрична точке М относительно центра О, то точка М симметрична точке М' относительно того же центра О, т.е.
ZО(М)= М' ↔ ZО(М')= М В этом случае говорят, что точки М и М' симметричны относительно центра О.
Центральная симметрия имеет только одну неподвижную точку - центр симметрии.
Еще одним примером преобразования пространства является его тождественное преобразование.
Определение. Преобразование пространства, которое каждую его точку отображает на себя, называется тождественным преобразованием.
Будем обозначать тождественные преобразования буквой Е. При тождественном преобразовании пространства каждая его точка является неподвижной точкой, а каждая фигура - неподвижной фигурой.
Говорят что преобразование пространства задано в координатах (задано формулами), если каждой точке m (x; y; z) пространства ставится в соответствие точка М' (x'; y'; z') такая что
x'=f1(x, y, z),
y'= f1(x, y, z),
z'= f1(x, y, z).
Например, тождественное преобразование отображает каждую точку пространства на себя и задается формулами: x'=x, y'= y, z'=z; центральная симметрия с центром в начале координат-точке О-отображает любую точку М (x; y; z) пространства на такую точку М' (x'; y'; z'), что векторы ОМ и ОМ' противоположны, поэтому центральная симметрия с центром в начале координат задается формулами:
x'=-x, y'=-y, z'=-z.