Парабола и её уравнение.

Параболой называется множество точек плоскости, одинаково удалённых от заданной точки (называемой фокусом) и прямой (называемой директрисой).

Фокус параболы принято обозначать буквой F, директрису - буквой d, расстояние от фокуса до директрисы – буквой p(p>0). Рассмотрим основные случаи расположения параболы относительно осей координат. y²=2px и y²=-2px.

Показатели	d	F d
Положение фокуса   Координаты фокуса   Уравнение директрисы   Уравнение параболы	На положительной полуоси Ох F(p/2;0)   x=-p/2   y2=2px	На отрицательной полуоси Ох F(-p/2;0)   x=p/2   y2=-2px

Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси ординат, имеет вид: x²=2py и x²=-2py.

Показатели
Положение фокуса   Координаты фокуса   Уравнение директрисы   Уравнение параболы	На положительной полуоси Оy F(0; p/2)   y=-p/2   x2=2py	На отрицательной полуоси Оy F(0;-p/2)   y=p/2   x2=-2py

Задача 1.

Составить уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат и симметричной оси Ох, если она проходит через точку (-4;-4 )

Решение.

Искомое уравнение имеет вид у²=2рх; тогда (-4 )²=2р*(-4), откуда р= -4.

Подставив значение р в формулу получим у²=2рх=2*(-4)*х=-8х.

у²= -8х - искомое уравнение.

Задача 2.

Найти каноническое уравнение параболы и уравнение её директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты (0;-3).

Решение.

Согласно условию, фокус параболы размещён на отрицательной полуоси О_у, т. е. её уравнение имеет вид х²= -2ру. Так как –р/2=-3, то р=6, откуда 2р=12. Итак, уравнение параболы имеет вид х²= -12ру, а уравнение директрисы у=3.

Решить самостоятельно:

1. Напишите уравнение окружности, проходящей через три точки М₁(0,0), М₂(3,0), М₃(0,4).

2. Напишите каноническое уравнение эллипса, если фокальное расстояние равно 8 и эллипс проходит через точку (0;-3).

3. Напишите каноническое уравнение эллипса, если его фокус находится в точке (6;0) и ось ординат пересекает эллипс в точке (0;-3).

4. Докажите, что уравнение 7х²+16у²-112=0 является уравнением эллипса. Найдите координаты фокусов и фокальное расстояние.

5. Определите координаты вершин и фокусов, полуоси эллипса и его эксцентриситет, если эллипс задан уравнением 4х²+9у²=1

6. Дана гипербола . Напишите уравнения асимптот, найдите эксцентриситет этой гиперболы.

7. Дано уравнение гиперболы 9х²-16у²=144. Найдите координаты её фокусов и вершин, эксцентриситет и уравнения асимптот.

8. Найти асимптоты гиперболы x²-y²=9. Вычислить её эксцентриситет.

9. Напишите каноническое уравнение параболы, проходящей через точку (5;3).

10. Дана парабола у²=5х. Найти точки параболы, расстояние от которых до фокуса равно 4.

11. Напишите уравнение параболы, если координаты фокуса (4;0), а уравнение директрисы х+4=0.

12. Составить каноническое уравнение параболы, у которой фокус находится в точке пересечения прямой 2х-5у-8=0 с осью абсцисс.

13. Напишите уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной относительно оси ординат, если координаты фокуса F(0;-3).

14. Фокус параболы имеет координаты (-6;0), а уравнение директрисы х-6=0 Составьте уравнение параболы.

15. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси ординат и фокальный параметр равен 6.