Метод, основанный на применении законов Кирхгофа

В.И. Корольков

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

ПО КУРСУ «ОСНОВЫЭЛЕКТРОНИКИ»

 

Для студентов I курса

специальности «Радиофизика и электроника»

Москва

Издательство Российского университета дружбы народов

 

 

У т в е р ж д е н о

РИС Ученого совета

Российского университета

дружбы народов

 

Корольков В.И.

Методические указания по выполнению индивидуальных заданий по курсу «Основы электроники». Для студентов I курса специальности «Радиофизика и электроника».– М.: Изд-во РУДН, 2006. – 24 с.

 

 

Методическое руководство содержит теоретические основы и практические рекомендации, необходимые для самостоятельного выполнения индивидуальных заданий по курсу «Основы электроники». Приведены примеры расчета сложных разветвленных электрических цепей на постоянном и переменном токе.

Подготовлено на кафедре радиофизики.

 

ã Издательство Российского университета дружбы народов, 2006

ã Корольков В.И., 2006

Предварительные замечания.

Программа по курсу «Основы электроники» предусматривает выполнение студентами ряда индивидуальных заданий по расчету разветвленных электрических цепей. Целью настоящего методического руководства является помочь студентам самостоятельно освоить основные методы расчета.

Вариант выполнения индивидуального задания каждый студент получает у преподавателя, ведущего с ним занятия. Расчет конкретной электрической цепи рекомендуется начинать по мере изучения соответствующих материалов на теоретических занятиях.

Выполнение расчетов следует проводить с использованием средств вычислительной техники. В данном руководстве ряд примеров индивидуальных заданий выполнены на компьютере с использованием программы MathCAD. Возможно использование и других математических программ, а также обычный микрокалькулятор для инженерных расчетов.

 

Индивидуальное задание №1.

Расчет разветвленной электрической цепи постоянного тока.

 

Целью данного учебного задания является освоение пяти основных методов расчета цепей на постоянном токе:

1. метод, основанный на применении законов Кирхгофа;

1. метод контурных токов;
2. метод узловых потенциалов;
3. метод наложения;

5. метод эквивалентного генератора.

Для освоения методов предлагается рассчитать параметры электрической цепи, изображенной на рис. 1. Задача состоит в определении значений всех неизвестных токов и расчете падений напряжения на всех элементах электрической цепи.

В рассматриваемой схеме имеется 3 источника напряжения (с соответствующими значениями ЭДС E _i и внутренним сопротивлением r _i) и 6 резисторов R _j. Схема содержит N _В=8 ветвей, N _У=5 узлов и N _К=4 замкнутых контуров.

Рис. 1. Принципиальная схема разветвленной цепи.

 

Предположим, что вариант задания содержит следующие исходные данные к расчету электрической цепи:

E1, В	r1, Ом	E2, В	r2, Ом	E3, В	r3, Ом	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	R4, Ом	R5, Ом	RH, Ом

Рассмотрим решение задачи каждым из упомянутых методов.

 

Метод, основанный на применении законов Кирхгофа

 

Свойства любой электрической цепи можно установить из уравнений, составленных на основе известных физических законов: закона Ома, первом и втором законах Кирхгофа.

Согласно закону Ома сила тока J в проводнике сопротивлением R пропорциональна напряжению U на его концах:

(1)

Расчет токов, напряжений и ЭДС в разветвленной цепи производится на основе законов Кирхгофа.

Первый закон: алгебраическая сумма сил токов на участках цепи, сходящихся в любой точке разветвления, равна нулю

(2)

Перед составлением уравнений по первому закону Кирхгофа нуж­но сначала в каждой ветви задаться условно-положительным направлением тока. Токам, направленным к узлу, приписывают знак «плюс», а токам, направленным от узла, — знак «минус».

Второй закон: для любого замкнутого контура, выделенного из разветвленной цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов на соответствующие сопротивления равна алгебраической сумме всех электродвижущих сил в этом контуре

(3)

При этом, если условно-положительные направления токов через пассивные элементы совпадают с направлением обхода контура, падение напряжения на соответствующем элементе за­писывают со знаком «плюс», если же направление тока через пассивный элемент противоположно направлению обхода контура — со зна­ком «минус». ЭДС соответствующего источника энергии записывают со знаком «плюс», если направление обхода контура совпадает с­ направле­нием стрелки ЭДС, и со знаком «минус» — в противоположном случае.

Зададимся предполагаемыми направлениями токов J_k и направлением обхода (пунктирные стрелки) как это показано на рис. 2.

Рис. 2. Принципиальная схема с предполагаемыми направлениями токов и направлениями обхода контуров.

Далее составим N _У –1 уравнений по первому закону Кирхгофа:

для узла a –J ₁ + J ₂ – J ₃ =0

для узла c –J ₂ + I ₄ – J ₅ =0

для узла d –J ₄ – J ₆ + J ₇ =0

для узла f J ₅ + J ₆ – J ₀ =0

Составим N _К уравнений по второму закону Кирхгофа:

для контура A J ₁ r ₁ – J ₃ R ₁ = E ₁

для контура B J ₃ R ₁ +J ₂ R ₂ – J ₅ r ₃ –J ₀ R ₃ = E ₃

для контура C J ₅ r ₃ +J ₄ R _H –J ₆ R ₅ = – E ₃

для контура D J ₇ (r ₂ +R ₄ )+ J ₆ R ₅ +J ₀ R ₃ = E ₂

Объединим эти уравнения в одну систему, подставим соответствующие значения E _i, r _i, R _j и решим систему одним из известных методов. Решение задачи в MathCAD приведено на листинге №1.

Следует обратить внимание на знаки полученных значений токов. Если значение тока отрицательное, то его направление противоположно тому, что указано на схеме.

Далее следует провести проверку полученных значений токов. Для этого необходимо проверить баланс мощностей: для любой замкнутой электрической цепи сумма мощностей Р _e, развиваемая источниками электрической энергии, должна быть равна сумме мощностей Р _r, расходуемых в приемниках этой энергии.

Мощность, выделяющаяся в резистивном элементе, всегда положительна и равна RJ².

Знак мощности источников энергии зависит от режима их работы. Если направление тока в цепи совпадает с направлением ЭДС, то источник отдает мощность и Р _е > 0. В противном случае источник потребляет мощность и Р _е < 0.

Общий вид уравнения баланса мощностей:

(4)

В нашей схеме источники тока отсутствуют, поэтому второе слагаемое в правой части выражения (4) равно нулю.

Для расчета падений напряжения на элементах электрической цепи следует воспользоваться законом Ома (1).

Метод контурных токов.

 

При использовании метода контурных токов расчет сложной разветвленной схемы проводят в два этапа.

На первом этапе вводят и рассчитывают вспомогательные контурные токи, число которых N _К обычно меньше общего числа N _В неизвестных токов. На втором этапе путем простого алгебраического суммирования находят искомые токи.

Для решения нашей задачи зададимся направлениями контурных токов J _a, J _b, J _c и J _dв замкнутых контурах A, B, C и D соответственно (на пример, как это показано на рис. 2, пунктирными линиями против часовой стрелке). По любой ветви должен протекать хотя бы один контурный ток.

Для расчета контурных токов составим систему из N _К уравнений на основе второго закона Кирхгофа:

для контура A J _a (r ₁ +R ₁ ) – J _b R ₁ = E ₁

для контура B J _b (R ₁ +R ₂ + R ₃ +r ₃ ) – J _a R ₁ – J _c r ₃ – J _d R ₃ = E ₃

для контура C J _c (r ₃ +R _H +R ₅ ) – J _b r ₃ – J _d R ₅ = – E ₃

для контура D J _d (r ₂ +R ₃ +R ₄ +R ₅ ) – J _c R ₅ – J _b R ₃ = E ₂

Действительные токи в ветвях определяются наложением контурных токов. Для определения истинных значений токов, протекающих в схеме, запишем соотношения, связывающие их с контурными токами:

J ₀ = J _d – J _b ; J ₁ = J _a; J₂ = J _b;

J ₃ = J _b – J _a ; J ₄ = J _c; (5)

J ₅ = J _c – J _b ; J ₆ = J _d – J _c; J ₇ = J _d

Если какое-нибудь значение тока получится отрицательным, то его направление противоположно тому, что указано в схеме.

Правильность расчета значений токов в схеме, как и в предыдущем случае, проверяется путем проверки выполнения баланса мощностей (4).

Для расчета падений напряжения на элементах электрической цепи следует воспользоваться законом Ома (1).

Решение задачи методом контурных токов с помощью программы MathCAD приведено на листинге №2.