РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ МНОГОПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ




Общие методические указания

Прежде чем приступать к выполнению заданий, необходимо изучить соответствующий раздел одного из рекомендуемых учебников и разобрать решенные задачи.

Исходные данные для решения задач выбираются студентом из таблиц вариантов.

Работы, выполненные не по своему варианту, возвращаются студенту без проверки.

Все чертежи и графики (эпюры, линии влияния) должны быть выполнены в масштабе.

Перед решением каждой задачи необходимо вычертить схему и указать на ней все размеры и нагрузки в числах. Все схемы и графики должны выполняться с помощью линейки, вычисления и пояснения к ним должны легко читаться. На эпюрах и линиях влияния должны быть проставлены характерные ординаты. Чтобы ошибки, допущенные в процессе выполнения задания, легко было исправить, все записи лучше производить карандашом.

Все ошибки и недоработки, отмеченные преподавателем, студент должен устранить. Исправления выполняются на том же листе (при наличии места) или на отдельном, но ни в коем случае не там, где они отмечены преподавателем. Должно быть написано слово: “Исправления” и далее правильное выполнение отмеченной части задания. Исправления присылаются только вместе с первоначальным вариантом работы.

Преподаватель ставит на работе и в рецензии запись “к защите” или “не зачет”. Правильно выполненная работа защищается студентом во время консультаций, которые проводятся преподавателем по расписанию в течение всего учебного года.

 

Задание №1

 

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ МНОГОПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ

 

Литература: [1] §§2.1-2.5, 2.7-2.9, 3.1, 3.2; [2] §§44, 45, 49, 50, 60, 67; [4] §§II.1, II.3, III.1, III.2, IV.1, IV.4; [5] §§2.1, 2.2, 3.1; [11] §§3.1-3.6, 4.1, [12] §4.1.

Задача 2.1 Для балок, показанных на рис. 1.1, требуется:

а) построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М; вычислить значения Q и M в указанных сечениях (m, n, или k, s);

б) построить линии влияния опорных реакций, а также линии влияния Q и M для тех же указанных сечений;

в) вычислить от заданной неподвижной нагрузки значения двух опорных реакций (по выбору студента) и значения Q и M в указанных сечениях при помощи их линий влияния, сравнить полученные значения с результатами аналитического расчета.

Исходные данные взять из таблицы 1.1.

Пример выполнения задачи 1.1. Для заданной на рис.1.3, а многопролетной балки выполнить расчеты согласно условию задачи 1.1.

Решение. Кинематический анализ системы. Для определения неизменяемости и статической определимости многопролетной шарнирной балки число шарниров в пролетах должно удовлетворять условию

Ш=С0 –3, (1.1)

где С0 – число опорных стержней.

В данном примере Ш =3, Со =6. Условие (1.1) выполняется. Это условие является необходимым, но недостаточным для заключения о том, что система является геометрически неизменяемой. Шарниры В, С, I делят балку на отдельные элементы-балки: АВ, BC, CI и IG, причем балки АВ и IG являются основными, т.к. они неподвижно связаны с землей. Балки ВС и CI – второстепенные, которые без связи с соседними

 

Таблица 1.1

№ строки l1 l2 а в P1 P2 q1 q2 Сечения
м кН кН/м
1                 m, n
2                 k, s
3                 m, n
4                 k, s
5                 m, n
6                 k, s
7                 m, n
8                 k, s
9                 m, n
10                 k, s
11                  
12                  
13                  
14                  
15                  
16                  
17                  
18                  
19                  

 

балками дают геометрически неизменяемую (подвижную) систему. Балка BC называется подвесной, как вообще не связанная с землей. Для уяснения взаимодействия отдельных частей шарнирной балки строим "поэтажную схему" (рис. 1.2, б).

Построение эпюр Q и M. Аналитический расчет удобнее вести отдельно для каждой балки, начиная с верхних балок в схеме взаимодействия. Расчет начинаем с определения опорных реакций (рис. 1.2, в). В первую очередь следует определить реакции подвесной балки ВС, затем можно рассмотреть балку АВ или CI, после балки CI нужно рассмотреть балку IG.

4
5
10
9
8
6
7
Рис. 1.1
3
2
1

12
13
14
15
16
17
19
18
Рис. 1.1 Окончание
11

Рассмотрим элемент BC. Ввиду симметрии нагрузки на балке ВС:

.

Перейдем к элементу АВ. На консоль АВ действует сила , которая численно равна , но направлена в противоположную ей сторону. Из уравнений равновесия элемента АВ:

, , ,

следует МА=12 кНּм, RA=6 кН.

Рассмотрим элемент CI. Из уравнения равновесия:

,

получаем RI=3 кН, RD=9 кН. Для проверки запишем уравнение

Элемент IG. Из уравнения равновесия:

,

следует RJ=11,8 кН. Из уравнения:

,

получаем RH 11,8 кН. Для проверки составим уравнение

В заключение можно проверить для всей системы выполнение условия ΣY=0

.

Переходим к построению эпюр Q и M. Расстояния до сечений x i для каждого грузового участка балок представлены на рис. 1.5–1.7. Правила построения эпюр Q и M см. файл «пример построения эпюр». Эпюры представлены на рисунках: для элемента BC (рис.1.4), элемента АВ (рис. 1.5), элемента CI (рис. 1.6), элемента IG (рис. 1.7). Путем объединения соответствующих эпюр, построенных для отдельных элементов многопролетной шарнирной балки, получаем окончательные эпюры Q и M для всей балки, которые приведены на рис. 1.2, г, д.

Построение линий влияния. Для построения линий влияния перемещаем силу по заданной балке. Применяем статический метод. Удобнее начинать с того элемента, где находится исследуемый фактор. Так, например, для построения

д)
г)
в)
б)
а)
Рис. 1.2

к)
и)
з)
ж)
е)
д)
г)
б)
в)
а)
Рис. 1.3

Рис. 1.4
6
Q(кН)
М(кНּм)
12
x
6
B
1
1
A
x
4кН/м
1
1
6
В
RC=6кН
С
1,5
4,5
6
RB=6кН
Q(кН)
М(кНּм)
Рис. 1.5

 


 

 

 


Q(кН)
М(кНּм)
6
С

2кН/м
Рис. 1.6


Рис. 1.7

 


линий влияния реакции опоры J нужно располагать сначала на балке IG, затем на балке CI, а после на балке ВС (рис. 1.3, а).

а)
Линии влияния RA и MA (рис. 1.3, б, в). Если сила находится на участке АВ, то реакции в шарнирах B, C, I и реакции в опорах D, H, J не возникают, в чем можно убедиться, составляя уравнения равновесия сначала для элемента ВС, затем CI и IG (рис. 1.3, а)

б)
Рис. 1.8
Рассмотрим элемент АВ (рис. 1.8, а). Из уравнения ΣY=0 определяем . Из уравнения ΣМА=0 находим (), при x1=0, MA=0 ( в точке А), при x1=2м, MA=-2м ( в точке В).

Строим линию влияния RA и MA на участке АВ (рис. 1.3, б, в). Когда сила перемещается на участке BC (рис. 1.8, б), то в шарнире В на элемент АВ передается сила , равная по величине реакции балки ВС и противоположная ей по направлению. Из уравнения равновесия балки ВС:

получаем (). Сила вызывает в заделке балки АВ реакции и MA, которые получим из условий равновесия балки АВ:

, .

При x2=0, RA=1, MA=-2м ( в точке В), при x2=3, RA=0, MA=0 ( в точке С).

Строим линии влияния и MA на участке ВС (рис. 1.3, б, в). При перемещений силы на участках CI и IG (рис. 1.3, а) RA=0, MA=0, так как реакция RВ в шарнире В равна нулю, ввиду отсутствия нагрузки на балке ВС.

Линия влияния RD (рис. 1.3, г). Располагаем груз на балке CI (рис. 1.9, а). Из уравнения равновесия элемента CI:

ΣМI=0,

имеем ().

а)
При x1=0, RD=1, при x1=4м, RD=0, при x1=-2м, RD=1,5.

б)
По этим значениям строим линию влияния RD на участке CI.

Рис. 1.9
Располагаем груз на балке ВС (рис. 1.9, б). Из уравнения равновесия балки ВС: ΣМВ=0, имеем ().

В шарнире С на балку CI передается сила , равная по величине реакции вызывает на опоре D реакцию, выражение для которой получим из уравнения равновесия балки CI:

ΣМI=0, .

 

Тогда , при x2=3м, RD=1,5. Достраиваем линию влияния RD на участке ВС. При перемещении силы на основных балках АВ и IG реакция RD=0, так как в этом случае второстепенные балки ВС и СI будут на загружены.

Линия влияния RH и RJ (рис. 1.3, д, е). Располагаем груз на балке IG (рис. 1.10, а). Из уравнений равновесия балки IG

,

имеем , ().

При x1=0 ( в точке H) RH=1, RJ=0;

при x1=5м ( в точке J) RH=0, RJ=1;

при x1=-3м ( в точке I) RH=1,6, RJ=-0,6.

Строим линии влияния RH и RJ на участке IG.

Перемещаем груз на балку CI (рис. 1.10, б). Из уравнения равновесия балки CI ()

.

Сила вызывает на опорах H и J балки IG реакции RH и RJ, которые получим из уравнения равновесия балки IG:

, .

Тогда , .

При x2=0 ( в точке D) RH=0, RJ=0;

при x2=4м ( в точке I) RH=1,6, RJ=-0,6;

при x2=-2м ( в точке C) RH=-0,8, RJ=0,3.

 

Рис. 1.10

 

По этим значениям строим линии влияния RH и RJ на участке CI.

Сила находится на участке ВС (рис. 1.10, в). В этом случае из уравнения равновесия балки ВС имеем (). Тогда из уравнения равновесия балки CI получим

,

затем, рассматривая равновесие балки IG, окончательно получим

, .

При x3=0 ( в точке B) RH=0, RJ=0;

при x3=3м ( в точке C) RH=-0,8, RJ=0,3.

Достраиваем линии влияния RH и RJ на участке ВС. Если сила будет находиться на основной балке АВ, то RH=0, RJ=0, так как в этом случае отсутствуют реакции в шарнирах В, С, I и балка IG будет не загружена.

К
К
С
В
б)
Линия влияния QK и MK (рис. 1.3, ж, з). Пусть сила находится на участке СК. (рис. 1.11, а). Из равновесия части СК получим , ().
а)

C
К
В
C
При x1=0 MK=-1,5м; при x3=1,5м, MK=0.

в)
Строим часть линий влияния Q и MK на участке СК. Пусть сила находится справа от сечения К (рис. 1.11, б), тогда, рассматривая равновесие части СК, получим MK=0, QK=0.

Рис. 1.11


K
D
С
С
При нахождении груза на балке ВС (рис. 1.11, в) реакция (). В шарнире С сила вызывает в сечении К:

Рис. 2.11
и .

При x2=0, QK=0, MK=0;

при x2=3м, QK=1, MK=-1,5м.

Достраиваем линии влияния QК и MK на участке ВС. Если сила находится на балке АВ, то QK=0 и MK=0, так как в этом случае реакция RC=0.

Линии влияния QS и MS (рис. 1.3, и, к). Пусть сила находится на балке IG, но справа от сечения s, т.е. на участке SG (рис. 1.12, а). Выражаем QS и MS из равновесия части IS, тогда QS=RH, MS=RH ּ . Эти выражения позволяют, используя линию влияния RH (рис. 1.3, д), построить правую часть линии влияния QS и MS (на участке SG). То есть ординаты линии влияния QS равны ординатам линии влияния RH, а ординаты линии влияния MS равны ординатам линии влияния RH с множителем . Пусть сила находится слева от сечения S (на участке IS, на второстепенных балках CI и BC или на основной балке АВ (рис. 1.12, б). В этом случае из равновесия части SG получим QS=-RJ, MS=RJ ּ . Эти выражения позволяют, используя линию влияния RJ (рис. 1.3, е), построить левую часть линии влияния QS и MS (слева от сечения S). Для этого ординаты линии влияния QS принимаем равными ординатам линии влияния реакции RJ, но с обратным знаком, а ординаты линии влияния MS берем с множителем . Окончательные линии влияния показаны на рис. 1.3, и, к.

D
С
В
I

 

 


RJ

А
C
D
А
В
Рис. 1.12
I
I
H
RH
RH
H
J
J
RJ
G
G
S
S
S
S
С
С

 


Кинематический метод построения линий влияния. Более просто можно строить линии влияния с использованием кинематического метода. Данный метод основан на условии равновесия, записанном в виде равенства нулю работы всех сил приложенных к системе на возможных перемещениях. Отбрасываем связь, соответствующую опорной реакции RA и задаем в направлении ее действия возможное перемещение δA и запишем условие равенства (рис. 1.13, а):

при δА =1 получим δА = RA.

Последнее равенство показывает, что эпюра перемещений δx является линией влияния RA (рис. 1.3, б). Аналогично строятся линии влияния остальных реакций (рис. 1.3, в–д).

Принцип построения линий влияния кинематическим методом следующий:

1) отбрасываем связь, усилие в которой определяется, получается механизм с одной степенью свободы;

2) вместо отброшенной связи прикладываем соответствующий ей усилие;

3) задаем единичное перемещение по направлению данного усилия;

4) эпюра перемещений, полученного механизма является линией влияния данного усилия.

Для построения линий влияния внутренних усилий в каком либо сечении используется условное соединение этого места (рис. 1.14, а). При построении линии влияния изгибающего момента МА убирается один из горизонтальных стержней, что соответствует условному шарниру (рис. 1.14, б). Механизмы с врезанными шарнирами в точках А, К, S и соответственно приложенными изгибающими моментами МА, МК, МS, показаны на рис. 1.13, б, ж, к. при построении линии влияния Q отбрасывается наклонная связь (раскос), оставшаяся система образует ползун (рис. 1.14, в). Последний имеет следующую особенность, что при перемещениях системы два стерженька в месте сечения и примыкающие к ним стержни системы остаются всегда параллельными друг другу. Для построения линий влияния QК, QS, на рис. 1.13, е, и показаны соответствующие механизмы. Используя выше упомянутые обстоятельства, показана кинематика перемещений для построения линии влияния МА, МК, МS, QК, QS (рис 1.13, б, е–к), что полностью совпадают с линиями влияния, построенными статическим методом.

Определение усилия по линиям влияния. При загружении n сосредоточенными силами величиной Рi и m, равномерно распределенными по нескольким участкам нагрузками интенсивностью qi значение усилия S по линии влияния этого усилия может быть определенно по формуле:

, (1.2)


 

к)
C1
А
B
C
D
I
H
J
G
I1
s
Ms
Ms
αs=1
αs=1
s1
s=3м
s=2м
G1
А
B
C
D
I
H
J
G
ж)
αK=1
MK
MK
1,5αK=1,5
C1
А
B
C
D
I
H
J
G
и)
I1
δs=1
3/5
2/5
Qs
Qs
δJ=1
А
B
C
D
I
H
J
G
д)
I1
C1
G1
J1
RJ
А
B
C
D
I
H
J
G
е)
Qs
QK
C1
δK=1
г)
А
B
C
D
I
H
J
G1
RH
G
I1
C1
δH=1
А
B
C
D
I
H
J
G
в)
δD=1
C1
RD
MА
B
C
D
I
H
J
G
б)
B1
αA=1
A=2м
δA=1
RA
А
B
C
D
I
H
J
G
a)
x
δx
А1
=1
для л.в. Ms  
для л.в. Qs  
для л.в. MK  
для л.в. QK  
для л.в. RJ  
для л.в. RH  
для л.в. RD  
для л.в. RA  
для л.в. MA  

Рис. 1.13.

а)
б)
в)

 

 

Рис. 1.14

 

где yi- ордината линии влияния S под силой Pi; ωi- площадь фигуры, ограниченной линией влияния S, на участке действия нагрузки qi (площадь линии влияния).

Используя формулу (1.2), вычислим, например, реакции RH и RJ, а также QК, MK,QS и MS от неподвижной нагрузки в заданной многопролетной балке (рис. 1.2, а) по линиям влияния соответствующих усилий (рис. 1.3, д – 1.3, к).

 

;

 

;

 

; ;

 

;

 

.

 

Приведенные результаты вычислений RH, RJ, QК, MK, QS, MS совпадают с выше приведенными аналитическими вычислениями.

 

 

Задание №2

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-07-22 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: