Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Физико-технический факультет
Утверждаю |
Заведующий кафедры |
к.т.н., доцент |
А. Шпилевой |
«___»_________ 200__ г. |
Л Е К Ц И Я № 10
Тема: «Узкополосные случайные процессы»
Текст лекции по дисциплине: «Теория электрической связи»
Обсуждена и одобрена на заседании кафедры |
протокол №___ от «___»___________200__г. |
Г. Калининград 2012 г.
Текст лекции № 9
по дисциплине: «Теория электрической связи»
Введение
Для многих практических приложений бывает полезно представить сигнал в виде процесса с изменяющейся амплитудой и полной фазой. Такое представление процесса существенно упрощает построение аппаратуры, позволяет качественно решать многие вопросы передачи сигналов. Материал данной лекции необходим для понимания принципов построения демодуляторов. В дисциплине ТЭС также находят применение основные положения теории узкополосных процессов. В современных сотовых системах связи рассматриваемый сегодня принцип также находит широкое применение.
Квазигармоническая форма представления сигнала
К узкополосным случайным процессам относят процессы, спектральная плотность мощности которых сосредоточена в относительно узкой полосе частот в окрестности некоторой достаточно высокой частоты f0 (рисунок 1.1), то есть D f<<f0.
![]() |
Рисунок 1.1 – Узкополосный случайный процесс |
Пример реализации такого случайного процесса показан на рисунке 1.2, где C (t) – огибающая.
![]() |
Рисунок 1.2 – Пример реализации типового случайного процесса |
Во многих случаях сигнал x(t) удобно записывать в квазигармонической форме в виде:
![]() | (1.1) | |||
где | ![]() | – | огибающая; | |
![]() | – | полная фаза; | ||
![]() | – | средняя частота квазигармонического колебания; | ||
j(t) | – | медленно изменяющаяся начальная фаза. | ||
Для определения A(t) и y(t) введем в рассмотрение комплексный сигнал , получаемый из действительного сигнала x(t) следующим образом:
![]() | (1.2) | |||
где | ![]() | – | называют сопряжённым сигналом (связанным некоторым образом с x(t)). | |
Тогда:
![]() | (1.3) |
Поскольку сопряжённый x’(t) сигнал можно связать с исходным x(t) разными способами, то задача вычисления огибающей и полной фазы оказывается неоднозначной.
Вывод:
1.Квазигармоническая форма представления сигнала удобна для построения демодуляторов.
Прямое и обратное преобразование Гильберта.
По ряду причин, часть из которых станет понятной из дальнейшего, в качестве сопряжённого удобно выбрать преобразованный по Гильберту исходный сигнал:
![]() | (1.4) |
Комплексный сигнал вида называют аналитическим сигналом.
Преобразование Гильберта H[x(t)] в спектральной области сводиться к сдвигу фаз всех спектральных составляющих сигнала x(t) на угол в области положительных (ω>0) и на в
области отрицательных (ω<0) частот.
С точки зрения схемотехники преобразователь Гильберта – это фазовращатель (рисунок 1) с передаточной функцией, которая представлена следующим выражением:
![]() ![]() | (1.5) | |||
где | ![]() | – | знаковая функция. | |
![]() |
Рисунок 1.3 – Преобразователь Гильберта |
Найдём импульсную характеристику преобразователя Гильберта
Первый интеграл в полученном выражении равен 0 в силу интегрирования нечётной функции при симметричных пределах, а второй сводиться к табличному интегралу вида:
![]() | (1.6) |
Окончательно получаем:
![]() | (1.7) |
Из полученного результата с очевидностью вытекает невозможность физической реализации преобразования Гильберта, так как . Тем не менее, реально преобразования Гильберта осуществляют приближённо, допуская временную задержку, тем большую, чем выше требования к точности преобразования.
Рассмотрим преобразование Гильберта во временной области. Из рисунка 1.3 вытекает:
![]() | (1.8) | |||
где | ![]() | – | прямое преобразование Гильберта. | |
Поскольку
![]() | (1.9) |
после умножения обеих частей равенства на jsign(w) получим
![]() | (1.10) |
откуда следует, что передаточная функция обратного преобразования Гильберта H-1[x(t)] отличается от передаточной функции прямого только знаком:
![]() | (1.11) |
Соответственно:
– обратное преобразование Гильберта.