Пусть дана система линейных уравнений:
Запишем заданную систему в матричном виде:
, где
Если матрица 
невырождена, то тогда с помощью операций над матрицами выразим неизвестную матрицу 
. Операция деления на множестве матриц заменена умножением на обратную матрицу, поэтому домножим последнее равенство на матрицу 
слева:
Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.
Пример
Задание. Решить с помощью обратной матрицы систему 
Решение. Запишем данную систему в матричной форме:
,
где 
- матрица системы, 
- столбец неизвестных, 
- столбец правых частей. Тогда
Найдем обратную матрицу к матрице с помощью союзной матрицы:
Здесь 
- определитель матрицы ; матрица 
- союзная матрица, она получена из исходной матрицы заменой ее элементов их алгебраическими дополнениями. Найдем , для этого вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы :
Таким образом,
Определитель матрицы
А тогда
Отсюда искомая матрица
Ответ. 
Метод Крамера
Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
где 
- определитель матрицы системы, 
- определитель матрицы системы, где вместо 
-го столбца стоит столбец правых частей.
Замечание
Если определитель системы равен нулю, то система может быть как совместной, так и несовместной.
Замечание
Данный метод удобно применять для маленьких систем с громоздкими вычислениями, а так же если нужно найти одну из неизвестных. Трудность заключается в том, что необходимо считать много определителей.
Примеры решения систем уравнений методом Крамера
Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:
Так как определитель матрицы системы неравен нулю, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:
Таким образом,
Ответ.
Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)
При решении систем линейных уравнений используют также метод Гаусса. Он состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называют прямым ходом. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок(обратный ход).
При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:
· умножение или деление на одно и то же число;
· сложение и вычитание уравнений;
· перестановку уравнений системы;
· исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.