Точки разрыва функции и их классификация





Определение

Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1. функция определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е. называется точкой разрыва функции.

Пример

Функция не определена в точке , а значит, эта точка является точкой разрыва указанной функции.

Определение

Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.

Определение

Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

Пример

Задание. Исследовать функцию на непрерывность.

Решение. Рассматриваемая функция определена и непрерывна на промежутках , и , на которых она задана непрерывными элементарными функциями , и соответственно. А тогда, разрыв возможен только на концах указанных промежутков, то есть в точках и .

Найдем односторонние пределы и значение функции в каждой из точек.

1) Рассмотрим точку . Для нее

Так как , то в точке функция терпит разрыв первого рода.

2) Для точки имеем:

Так как односторонние пределы и значение функции в этой точке равны, то это означает, что в точке функция непрерывна.

Ответ. В точке функция терпит разрыв первого рода, а в точке непрерывна.

Пример

Задание. Исследовать функцию на непрерывность в точках и .

Решение. 1) Исследуем функцию на непрерывность в точке :

Так как один из односторонних пределов бесконечен, то точка - точка разрыва второго рода.

2) Для точки получаем:

и значение функции в точке

Таким образом, в точке заданная функция является непрерывной.

Ответ. - точка разрыва второго рода, а в точке функция непрерывна.

 

Производные

 

Производная функции в точке является основным понятием дифференциального исчисления. Она характеризует скорость изменения функции в указанной точке. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости различного рода процессов.

Производная функции равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что последний стремится к нулю:

Определение

Функция, которая имеет конечную производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в данной точке. Процесс вычисления производной называется дифференцированием функции.

Правила вычисления производных

Пусть функции и имеют производные в точке . Тогда

1. Константу можно выносить за знак производной.

Пример

2. Производная суммы/разности.

Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций.

Пример

3. Производная произведения.

Пример

4. Производная частного.

Пример

5. Производная сложной функции.

Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную от промежуточного аргумента по основному аргументу .

и имеют производные соответственно в точках и . Тогда

Теорема(О производной обратной функции)

Если функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки и дифференцируема в этой точке, то обратная функция имеет производную в точке , причем .

Дифференциал функции

Пусть функция дифференцируема в точке , то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно и нелинейного членов:

где при .

Определение

Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:

Замечание

Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.

Замечание

Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:

Замечание

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Отсюда получаем, что

Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.





Рекомендуемые страницы:


©2015-2019 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-04-04 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!