1. Найти вторую производную функции.
2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.
Пример
Задание. Найти интервалы выпуклости/вогнутости функции 
Решение. Найдем вторую производную заданной функции:
Находим точки, в которых вторая производная равна нулю, для этого решаем уравнение 
:
Исследуем знак второй производной слева и справа от полученной точки:
Так как на промежутке 
вторая производная 
, то на этом промежутке функция 
выпукла; в силу того, что на промежутке 
вторая производная 
- функция вогнута. Так как при переходе через точку 
вторая производная сменила знак, то эта точка является точкой перегиба графика функции.
Ответ. Точка - точка перегиба графика функции.
На промежутке функция выпукла, на промежутке функция вогнута.
Асимптоты графика функции
Определение
Прямая 
называется вертикальной асимптотой графика функции 
, если хотя бы одно из предельных значений 
или 
равно 
или 
.
Замечание. Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.
Определение
Прямая 
называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений 
или 
равно 
.
Определение
Прямая 
называется наклонной асимптотой графика функции , если 
Теорема (условиях существования наклонной асимптоты)
Если для функции существуют пределы 
и 
, то функция имеет наклонную асимптоту при 
.
Замечание
Если при нахождении горизонтальной асимптоты получается, что 
, то функция может иметь наклонную асимптоту.
Замечание
Кривая может пересекать свою асимптоту, причем неоднократно.
Пример
Задание. Найти асимптоты графика функции 
Решение. Область определения функции:
а) вертикальные асимптоты: прямая 
- вертикальная асимптота, так как
б) горизонтальные асимптоты: находим предел функции на бесконечности:
то есть, горизонтальных асимптот нет.
в) наклонные асимптоты :
Таким образом, наклонная асимптота: 
. 
Ответ. Вертикальная асимптота - прямая .
Наклонная асимптота - прямая .
Исследование функции и построение ее графика
При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:
1. Область определения 
и область допустимых значений 
функции.
2. Четность, нечетность функции.
3. Точки пересечения с осями (если это возможно)
4. Асимптоты функции.
5. Экстремумы и интервалы монотонности.
6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
7. Сводная таблица.
Замечание
Рекомендуется строить график одновременно с исследованием функции, нанося на координатную плоскость информацию по завершении каждого пункта исследования.
Пример
Задание. Исследовать функцию 
и построить ее график.
Решение. 1) Область определения функции.
2) Четность, нечетность.
Функция общего вида.
3) Точки пересечения с осями.
а) с осью 
:
то есть точки 
б) с осью 
: в данной точке функция неопределенна.
4) Асимптоты.
а) вертикальные: прямые 
и - вертикальные асимптоты.
б) горизонтальные асимптоты:
то есть прямая 
- горизонтальная асимптота.
в) наклонные асимптоты :
Таким образом, наклонных асимптот нет.
5) Критические точки функции, интервалы возрастания, убывания.
Найдем точки, в которых первая производная равна нулю или не существует: 
для любого 
из области определения функции; 
не существует при 
и 
.
Таким образом, функция убывает на всей области существования. Точек экстремума нет.
6) Точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости.
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует: 
; при и вторая производная не существует.
Таким образом, на промежутках 
и 
функция вогнута, а на промежутках 
и 
- выпукла. Так как при переходе через точку 
вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.
7) Эскиз графика.
