Замечание Можно доказать, что определение 5 равносильно тому, что
Определение 6 Функция 
называется интегрируемой по Риману на сегменте 
, если для неё определён интеграл Римана (т.е. если существует предел соответствующих интегральных сумм при 
).
Замечание Множество всех функций, интегрируемых по Риману на сегменте обозначается через 
.
Теорема 1 (линейность) Если 
, то и линейная комбинация 
, причём
◄ Рассмотрим интегральную сумму, соответствующую интегралу, стоящему в левой части соотношения 
, и преобразуем её:
или, что то же самое,
Поскольку существует предел при правой части данного равенства (так как в соответствии с условием ), то существует также предел и левой его части. Таким образом, доказано, что 
. Поскольку эти пределы совпадают, доказано и равенство . ►
Теорема 2 (монотонность) Если 
, и 
, то
◄ При 
утверждение верно. Если 
, рассмотрим соответствующее (очевидно верное) отношение интегральных сумм:
Переходя в данном неравенстве к пределу при , существование которого гарантировано условием теоремы, доказываем проверяемое соотношение. ►
Теорема 3 (о среднем) Пусть и функция 
неотрицательна (или неположительна) на сегменте , тогда 
:
◄ Без ограничения общности доказательства положим 
и . Очевидна справедливость следующего двойного неравенства:
Поскольку в соответствии с теоремой об интегрируемости произведения интегрируемых функций (доказательство которой мы опустим) 
, 
, 
, то применяя свойство линейности и монотонности интеграла, получаем
Обозначим число, стоящее в центре данного неравенства буквой 
.
где 
прямо по построению. ►
Следствие Если 
(т.е. если непрерывна на сегменте ), то в силу теоремы о прохождении непрерывной на сегменте функции через любое промежуточное значение найдётся точка 
, такая, что
Теорема 4 (аддитивность) Пусть 
и 
, тогда
◄ Рассмотрим такие разбиения сегмента 
, в которых точка 
является точкой разбиения. Каждое такое размеченное разбиение 
порождает разбиения 
сегмента и 
сегмента 
, причём 
и 
. В таком случае справедливо равенство
Так как 
и 
, то, переходя к пределу в данном равенстве при , получаем доказываемое равенство. ►
Замечание 1 Вообще говоря, нужно также доказать факт интегрируемости ограничения функции на сегменты и . Но это доказательство мы опустим.
Замечание 2 Если точка 
лежит вне сегмента , то равенство 
остаётся в силе. Пусть, например, 
и 
. И вправду, применяя формулу , получим
Теорема 5 (о существовании первообразной) Непрерывная на сегменте функция 
имеет на этом сегменте первообразную, причём любая первообразная функции на имеет вид
◄ Требуется доказать, что 
, то есть
Действительно,
где второе равенство верно в силу общепринятых договорённостей, последнее — в силу замечания 2 к теореме 4. Воспользовавшись формулой среднего значения (точнее, следствием из теоремы 3), продолжаем цепочку равенств
где 
.
Следовательно,
где последнее равенство справедливо в силу непрерывности функции . ►
Замечание Прежде всего стоило обосновать существование интеграла в формуле 
. Оказывается, это гарантируется теоремой об интегрируемости непрерывной функции, доказательство которой мы тоже опустим ввиду его сложности.
Следствие (формула Ньютона – Лейбница) Положим в сначала 
, а затем 
. Получим: 
и
откуда незамедлительно получаем, что
