Определение 5 (Интеграл Римана)




Замечание  Можно доказать, что определение 5 равносильно тому, что

Определение 6  Функция называется интегрируемой по Риману на сегменте , если для неё определён интеграл Римана (т.е. если существует предел соответствующих интегральных сумм при ).

Замечание  Множество всех функций, интегрируемых по Риману на сегменте обозначается через .

Теорема 1 (линейность)  Если , то и линейная комбинация
, причём

◄ Рассмотрим интегральную сумму, соответствующую интегралу, стоящему в левой части соотношения , и преобразуем её:

или, что то же самое,

Поскольку существует предел при правой части данного равенства (так как в соответствии с условием ), то существует также предел и левой его части. Таким образом, доказано, что . Поскольку эти пределы совпадают, доказано и равенство . ►

Теорема 2 (монотонность)  Если , и , то

◄ При утверждение верно. Если , рассмотрим соответствующее (очевидно верное) отношение интегральных сумм:

Переходя в данном неравенстве к пределу при , существование которого гарантировано условием теоремы, доказываем проверяемое соотношение. ►

Теорема 3 (о среднем)  Пусть и функция неотрицательна (или неположительна) на сегменте , тогда :

◄ Без ограничения общности доказательства положим и . Очевидна справедливость следующего двойного неравенства:

Поскольку в соответствии с теоремой об интегрируемости произведения интегрируемых функций (доказательство которой мы опустим) , , , то применяя свойство линейности и монотонности интеграла, получаем


Обозначим число, стоящее в центре данного неравенства буквой .

где прямо по построению. ►

Следствие  Если (т.е. если непрерывна на сегменте ), то в силу теоремы о прохождении непрерывной на сегменте функции через любое промежуточное значение найдётся точка , такая, что

Теорема 4 (аддитивность)  Пусть и , тогда

◄ Рассмотрим такие разбиения сегмента , в которых точка является точкой разбиения. Каждое такое размеченное разбиение порождает разбиения сегмента и сегмента , причём и . В таком случае справедливо равенство

Так как и , то, переходя к пределу в данном равенстве при , получаем доказываемое равенство. ►

Замечание 1  Вообще говоря, нужно также доказать факт интегрируемости ограничения функции на сегменты и . Но это доказательство мы опустим.

Замечание 2  Если точка лежит вне сегмента , то равенство остаётся в силе. Пусть, например, и . И вправду, применяя формулу , получим

Теорема 5 (о существовании первообразной)  Непрерывная на сегменте функция имеет на этом сегменте первообразную, причём любая первообразная функции на имеет вид

◄ Требуется доказать, что , то есть

Действительно,

где второе равенство верно в силу общепринятых договорённостей, последнее — в силу замечания 2 к теореме 4. Воспользовавшись формулой среднего значения (точнее, следствием из теоремы 3), продолжаем цепочку равенств

где .

Следовательно,

где последнее равенство справедливо в силу непрерывности функции . ►

Замечание  Прежде всего стоило обосновать существование интеграла в формуле . Оказывается, это гарантируется теоремой об интегрируемости непрерывной функции, доказательство которой мы тоже опустим ввиду его сложности.

Следствие (формула Ньютона – Лейбница)  Положим в сначала , а затем . Получим: и

откуда незамедлительно получаем, что

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2020-05-08 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: