Предел последовательности

Определение последовательности

Если каждому натуральному числу сопоставлено вещественное число , то говорят, что задана числовая последовательность .

Последовательность может быть задана с помощью формулы: , (данная формула называется формулой общего члена последовательности), а также через рекуррентные формулы, т.е. формулы, выражающие - член последовательности через члены с меньшими номерами (известными примерами здесь являются арифметическая и геометрическая прогрессии).

Примеры последовательностей:

1) - множество значений последовательности состоит из двух чисел 1 и –1.

2) - множество значений последовательности бесконечно.

3) , , - заданные числа.

4) , .

Последовательность может быть задана и другими способами, например, -я цифра в десятичной записи числа : , , ,...

Определение предела последовательности

Число называется пределом последовательности , если для натуральное число такое, что для имеет место неравенство :

Для предела используется следующее обозначение , либо .

Неравенство равносильно , и тогда легко дать геометрическое истолкование предела последовательности: в любой - окрестности точки содержится бесконечно много членов последовательности с номерами, большими , а вне этой окрестности – лишь конечное число членов.

Если последовательность имеет предел, то говорят, что последовательность сходится.

Теорема о единственности предела последовательности

Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.

Пример 1.Доказать, опираясь на определение, что .

Рассмотрим модуль разности: , т.е. при неравенство будет выполнено. Поэтому в качестве номера можно взять любое натуральное число, удовлетворяющее условию , например .

Из данного примера следует, что номер не может быть указан раз и навсегда, вообще говоря, он зависит от выбора числа . И при его уменьшении соответствующий номер увеличивается.

Пример 2.Доказать, исходя из определения, что .

Рассмотрим модуль разности:

, откуда . Следовательно, в качестве можно выбрать . Тогда для имеет место . Заметим, что в данном примере, как и во многих других, мы не решали неравенство , т.е. не находили те и только те значения , для которых оно выполняется. Нам лишь необходимо определить тот номер , начиная с которого все члены последовательности лежат в окрестности числа Будет ли это неравенство выполняться для номеров меньших или нет, нас не интересует. Таким образом, в рассмотренном примере мы указываем номер «с запасом», используя приём усиления неравенства и разрешая относительно более простое неравенство: .

Сформулируем отрицание определения предела последовательности: «число не является пределом последовательности » в позитивном смысле (позитивное – значит утверждающее наличие каких-то свойств, а не отсутствие чего-либо, поэтому не содержащее слов «не», «нет», и т.д.).

Число не является пределом последовательности если такое, что для любого натурального числа найдётся что будет выполнено неравенство:

Геометрически это означает, что существует окрестность числа , вне которой находится бесконечно много членов последовательности

Пример 3. Доказать, что не является пределом последовательности

Выпишем несколько членов нашей последовательности:

и т. д.

Пусть тогда какой бы ни был номер например, где натуральное число что будет иметь место неравенство:

Мы могли бы выбрать другое например, и для указать тогда

Последовательность называется расходящейся, если никакое число не является пределом этой последовательности, т.е.

для .

Пример 4. Доказать, что последовательность расходится.

Если то Если же то Пусть и тогда , что

Если же или то можно положить , и тогда вне окрестности числа окажутся все (т.е. бесконечно много) члены последовательности с нечетными номерами (для ) или все члены последовательности с чётными номерами (для ).

Следовательно, последовательность расходящаяся.

Пример 5. Пусть в некоторой окрестности точки лежит бесконечно много членов последовательности . Следует ли из этого условия, что: а) б) никакая точка вне этой окрестности не является пределом последовательности

а) Не следует, так как предыдущий пример показывает, что в окрестности точки лежат бесконечно много членов последовательности , но эта последовательность расходится.

б) Следует, ибо можно указать окрестность точки , вне которой содержится бесконечно много членов нашей последовательности. Для этого достаточно взять если или если

Пример 6. Пусть задана последовательности . Определим последовательность путём сдвига: (либо , ). Доказать, что если существует то существует и если же последовательность расходится, то последовательность также расходится.

Рассмотрим сначала сходящуюся последовательность . Это означает, что для такое, что для имеет место неравенство: Но тогда в силу равенства (либо ) для будет выполняться неравенство: Согласно определению последовательность сходится к числу

Пусть теперь расходится, т.е. для такое, что для и такое, что Взяв найдём что ведь

Следовательно, для такое, что для , и тогда , что означает расходимость последовательности

Итак, доказана следующая теорема:

Отбрасывание или добавление конечного числа членов последовательности не влияет на её сходимость.

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Ограниченность последовательности – необходимое условие её сходимости, т.е. если последовательность не ограничена, то она расходится.

Пример 7. Доказать, пользуясь теоремой об ограниченности сходящейся последовательности, что последовательность расходится.

Покажем, что данная последовательность не ограничена, т.е. для такое, что .

Итак, для любого натуральное число , при котором имеет место .

Определение бесконечно малой последовательности

Последовательность называется бесконечно малой, если .

Пример 8. Доказать, что – бесконечно малая последовательность.

Согласно определению требуется доказать, что .

Рассмотрим .

Откуда, логарифмируя, получим: , Итак, .

Последовательность ограничена, если существуют числа такие, что .

Леммы о бесконечно малых последовательностях.

Лемма 1. Если последовательности и – бесконечно малые, а – вещественные числа, то последовательность также бесконечно малая.

Лемма 2. Если последовательность – бесконечно малая, а последовательность – ограниченная, то произведение – бесконечно малая последовательность.

Пример 9. Используя лемму о бесконечно малых, доказать, что .

Последовательность является ограниченной: , а последовательность – бесконечно малая, так как , т.е. для такое, что для имеет место неравенство: .

Следовательно, последовательность – бесконечно малая.

Пример 10. Доказать: .

Последовательность ограничена: , а , так как . Следовательно, их произведение есть бесконечно малая, т.е. .

Определение бесконечно большой последовательности Последовательность называется бесконечно большой, если для такое, что для имеет место неравенство :

В этом случае пишут: . Очевидно, что бесконечно большая последовательность является расходящейся.

Пример 11.Доказать, что . Рассмотрим , если , т.е.

Пример 12.Доказать, что . Требуется для указать номер такой, что для выполняется

Рассмотрим

Следовательно, неравенство будет выполнено, если т.е.

Пример 13. Доказать, что последовательность не ограничена, но не является бесконечно большой.

Сформулируем в положительном смысле утверждение: “последовательность не является бесконечно большой“:

С другой стороны, требуется доказать неограниченность последовательности т.е.

Выпишем первые несколько членов нашей последовательности:

Итак, для , поэтому ;

для , откуда .

Следовательно, какое бы число мы не выбрали, , если последовательность не ограничена. В то же время , что какое бы натуральное мы не взяли, можно указать и равное при этом , что имеет место - последовательность не является бесконечно большой.

Связь бесконечно большой последовательности с бесконечно малой

Если - бесконечно большая последовательность, то – бесконечно малая и наоборот, если - бесконечно малая, то – бесконечно большая.

Пример 14. Доказать, что .

Рассмотрим неравенство: если логарифмируя, будем иметь: , откуда т.к. Следовательно, для , что для всех выполняется если т.е. для .

Пусть теперь , тогда т.е., по доказанному выше, последовательность является бесконечно малой, откуда следует, что последовательность бесконечно большая при .

Теорема об арифметических свойствах предела

Если существуют и , то

существует - для ;

существует ; в случае существует .

Пример 15. Найти .

В данном примере невозможно непосредственно воспользоваться теоремой о пределе частного, так как не существует (, и вне – окрестности, где - например, любого числа находится бесконечно много членов данной последовательности). Поэтому необходимо провести следующее преобразование:

Пример 16. Найти .

Учитывая, что , получим:

Пример 17. Найти .

Сумма n членов арифметической прогрессии равна:

Тогда

Пример 18. Найти .

Учитывая, что , получим

Пример 19. Найти .

Используя тождество , будем иметь:

Теоремы о пределах, связанные с неравенствами

1) Принцип двухстороннего ограничения.

Если и для всех , начиная с некоторого , , то

2) Теорема о предельном переходе в неравенстве.

Если и для всех , начиная с некоторого , (или ), то (или ).

Пример 20. Найти .

В рассматриваемой сумме содержится слагаемое, наименьшее из которых , а наибольшее , поэтому

Так как

и то .

Пример 21. Доказать, что .

Пусть сначала .

В сумме справа все слагаемые положительны, поэтому откуда . Следовательно, при т.е.

Если то поэтому по доказанному выше откуда следует, что .

Пример 22. Доказать, что для и

По условию поэтому (доказано в примере 14). Если при этом , то по лемме о бесконечно малых так как последовательность ограничена:

Пусть теперь . Тогда найдется такое натуральное число , что и будет выполняться неравенство . Покажем, что крайние члены этого неравенства стремятся к общему пределу.

где

Но

если

Таким образом, , а тогда, применяя теорему о пределе произведения, получим, что .

Аналогично Принцип двустороннего ограничения приводит нас к выводу:

Пример 23. Доказать, что для

Требуется для указать такое, что для имеет место неравенство: . Преобразуем данное неравенство:

При и поэтому по результатам предыдущего примера что означает, что для в том числе и для , найдётся такое, что для всех выполняется: , что равносильно