Общий вид линейного уравнения множественной регрессии

Линейная модель множественной регрессии

Экономические явления, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает задача исследования зависимости одной зависимой переменной Y от нескольких объясняющих переменных . Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа

Модель множественной регрессии является методом выявления аналитической формы связи между зависимым (или результативным) признаком и несколькими независимыми (или факторными) переменными. Ее построение целесообразно в том случае, если коэффициент множественной корреляции показал наличие связи между переменными.

Простая регрессия может дать хороший результат при моделировании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Однако когда уверенности в правомерности такого допущения нет, необходимо использовать модель с большим числом факторов. Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства и целого ряда других вопросов эконометрики. Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели. Суть этой проблемы включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии. Ввиду четкой интерпретации параметров наиболее широко используются линейная и степенная функции.

Общий вид линейного уравнения множественной регрессии:

где y – зависимая переменная,

x ₁, …, x_n – объясняющие переменные (или регрессоры);

β₀, …, β_n – параметры уравнения регрессии, подлежащие оценке;

ε – случайные ошибки множественного уравнения регрессии.

Для нахождения оценок коэффициентов проводится p наблюдений (), в результате чего получается n неравенств:

индекс i показывает номер наблюдения.

Модель нормальной линейной множественной регрессии строится исходя из следующих предпосылок:

1) величины x_i1, …, x_ip являются неслучайными и независимыми переменными;

2) математическое ожидание случайной ошибки уравнения регрессии равно нулю во всех наблюдениях: M (ε _i) = 0

3) дисперсия случайной ошибки уравнения регрессии является постоянной для всех наблюдений: ;

4) случайные ошибки уравнения регрессии не коррелированы между собой, т. е. ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю: . Это предположение верно в том случае, если изучаемые данные не являются временными рядами;

5) основываясь на 3 и 4-м предположениях, добавляется условие о том, что случайная ошибка уравнения регрессии является случайной величиной, подчиняющейся нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

Пример. Предположим, что зависимость расходов на продукты питания по совокупности семей характеризуется следующим уравнением:

,

где y – расходы семьи за месяц на продукты питания, тыс. руб.;

x ₁ – месячный доход на одного члена семьи, тыс. руб.;

x ₂ – размер семьи, человек.

Анализ данного уравнения позволяет сделать выводы – с ростом дохода на одного члена семьи на 1 тыс. руб. расходы на питание возрастут в среднем на 350 руб. при том же среднем размере семьи. Иными словами, 35% дополнительных семейных расходов тратится на питание. Увеличение размера семьи при тех же ее доходах предполагает дополнительный рост расходов на питание на 730 руб. Первый параметр не подлежит экономической интерпретации.