Понятие описанной окружности
В этом уроке узнаем, что подразумевается под понятием «описанная окружность», докажем теорему об окружности, описанной около треугольника, отметим некоторые свойства, а также решим задачу по теме урока.
Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.
На рисунке изображена окружность, описанная около четырехугольника АВСD. Четырехугольник АВСD является вписанным в окружность, так как все его вершины лежат на окружности, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в окружность, так как его вершина Е не лежит на данной окружности.
окажем теорему об окружности, описанной около треугольника.
Теорема об окружности, описанной около треугольника
Теорема:
Около любого треугольника можно описать окружность.
Дано:
произвольный треугольник Δ АВС.
Доказать:
около треугольника ΔАВС можно описать окружность.
Доказательство:
в треугольнике ΔАВС проведем серединные перпендикуляры ОН к стороне АВ, ОК к стороне ВС и ОМ к стороне АС, точка О – точка пересечения этих серединных перпендикуляров.
НКМ Из точки О проведем отрезки АО, ВО, СО.
Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔАОН и ΔВОН.
Так как ОН – общая сторона, АН = ВН по построению, то ΔАОН = ΔВОН (по двум катетам), следовательно, АО = ВО.
Аналогично из равенства прямоугольных треугольников ΔВОК и ΔСОК; ΔСОМ и ΔАОМ следует ВО = СО и СО = АО.
Значит, АО = ВО = СО.
Поэтому окружность с центром О и радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника АВС и, значит, является описанной около треугольника.
Теорема доказана.
§ 3 Свойства четырехугольников, около которых можно описать окружность
Важно отметить, что:
1) около треугольника можно описать только одну окружность;
в отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность.
Те четырехугольники, около которых можно описать окружность, обладают замечательным свойством: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
На рисунке углы А и С – вписанные углы.
По теореме о вписанном угле:
Сложим углы А и С, получим:
Верно и обратное утверждение: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.
Рассмотрим решение задачи по теме урока.
Задача:
Прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С вписан в окружность.
Найдите площадь треугольника АВС, если ВС = 8 см и радиус окружности, описанной около треугольника, равен 5 см.
Дано: треугольник АВС – прямоугольный, ВС = 8 см, окружность, описанная около треугольника АВС, с радиусом r = 5 см.
Найти:
площадь треугольника АВС.
Решение:
так как вписанный прямой угол С прямоугольного треугольника АВС равен половине дуги, на которую он опирается, то гипотенуза АВ треугольника является диаметром окружности, описанной около треугольника.
Тогда АВ = 2 r = 10 см.
Для вычисления площади треугольника надо вычислить катет АС.
Вычислим катет АС, применяя теорему Пифагора:
Тогда площадь треугольника будет равна:
В этом уроке Вы познакомились с понятием «описанная окружность», доказали теорему об окружности, описанной около треугольника, рассмотрели замечательное свойство углов четырехугольника вписанного в окружность и решили задачу по теме урока.