Перечень вопросов к экзамену по курсу математики. Курс 1. Группы 832,834,8310. Семестр осенний
- Понятие об определителе. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Решение систем уравнений методом Крамера.
- Миноры и алгебраические дополнения. Свойства определителей.
- Операции над матрицами. Обратная матрица.
- Решение систем неоднородных и однородных линейных алгебраических уравнений методами Крамера, обратной матрицы, Гаусса.
- Понятие линейного пространства. Размерность и базис линейного пространства. Свойства линейных пространств.
- Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Преобразование базиса и координат.
- Теоремы о линейной зависимости коллинеарных и компланарных векторов.
- Ранг системы векторов и матрицы. Нахождение ранга матрицы. Метод окаймляющих миноров и элементарных преобразований.
- Однородные системы линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли. Фундаментальная совокупность решений системы. Общее решение однородной системы. (Привести пример). Неоднородные системы линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы. (Привести пример).
- Евклидово пространство. Свойства евклидовых пространств. Неравенство Коши – Буняковского. Преобразование базиса и координат. Ортонормированный базис.
- Скалярное произведение. Векторное произведение. Свойства векторного произведения. Смешанное произведение.
- Прямолинейные и криволинейные системы координат. Преобразования координат: параллельный перенос и поворот. Декартова, полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат.
- Каноническое уравнение прямой. Общее уравнение прямой, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, уравнение прямой в отрезках. Угловой коэффициент прямой, угол между прямыми. Условия совпадения прямых и параллельности. Пересечение прямых. Нормальное уравнение прямой, прямая в полярных координатах.
- Плоскость: общее уравнение плоскости; вектор нормали к плоскости; условия параллельности, совпадения, пересечения и угол пересечения плоскостей.
- Прямая в пространстве: параметрическое уравнение прямой: параметрическое уравнение прямой; прямая как пересечение плоскостей.
- Основные задачи о прямых и плоскостях: параллельность прямой и плоскости; расстояние от точки до плоскости; расстояние от точки до прямой; расстояние между скрещивающимися прямыми.
- Кривые 2-го порядка. Квадратичные формы и их матрицы. Собственные числа и собственные векторы матрицы квадратичной формы. Уравнение линии 2-го порядка. Ортогональные матрицы. Ортогональные инварианты квадратичных функций.
- Преобразование линии 2-го порядка при повороте осей координат и параллельном переносе. Приведение линии 2-го порядка к каноническому виду.
- Типы кривых 2-го порядка: эллипс, мнимый эллипс, пара мнимых пересекающихся прямых, гипербола, пара пересекающихся прямых, парабола, пара параллельных прямых, пара мнимых пара параллельных прямых, пара совпадающих прямых.
- Директриса, фокус, эксцентриситет. Директориальное свойство эллипса, параболы, гиперболы.
- Фокальное свойство эллипса и гиперболы.
- Алгебраические поверхности II порядка. Исследование методом сечений эллипсоида, гиперболоидов, параболоидов, цилиндрических поверхностей.
- Комплексные числа, действия с ними. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел.
- Числовые множества: логическая символика, точные грани числовых множеств. Метод математической индукции. Суммирование. Бином Ньютона.
- Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.
- Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства. Арифметические операции над сходящимися последовательностями.
- Монотонные последовательности. Условия существования предела монотонной последовательности. Число е.
- Теорема Кантора о вложенных отрезках.
- Существование частичного предела у ограниченной последовательности. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- Критерий Коши сходимости последовательности.
- Понятие функции. Область определения, способы задания, график. Сложные, обратные и неявные функции.
- Предел функции в точке. Определение предела по Коши и Гейне, их эквивалентность.
- Односторонние конечные пределы функции в точке. Бесконечные пределы в конечной точке. Предел в бесконечности.
- Свойства пределов функций: локальные свойства; свойства пределов, связанные с неравенствами; бесконечно малые функции.
- Критерий Коши существования предела функции.
- Вычисление пределов функций: раскрытие неопределённостей
 ,  ,  , замена переменного при вычислении предела. - Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Вычисление пределов
 ,  ,  . - Сравнение функций: эквивалентные функции, замена функций при вычислении пределов, понятие бесконечно малой функции по сравнению с другой, критерий эквивалентности функций.
- Понятие непрерывности функции. Точки разрыва. Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке.
|
Поиск по сайту:
|