ВВЕДЕНИЕ.
Одним из направлений совершенствования анализа хозяйственной деятельности является внедрение экономико-математических методов и современных ЭВМ. Их применение повышает эффективность экономического анализа за счет расширения факторов, обоснования принимаемых управленческих решений, выбора оптимального варианта использования хозяйственных ресурсов, выявления и мобилизации резервов повышения эффективности производства.
Математические методы опираются на методологию экономико-математического моделирования и научно обоснованную классификацию задач анализа хозяйственной деятельности. В зависимости от целей экономического анализа различают следующие экономико-математические модели: в детерминированных моделях – логарифмирование, долевое участие, дифференцирование; в стохастических моделях – корреляционно-регрессивный метод, линейное программирование, теорию массового обслуживания, теорию графов.
СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ФАКТОРНЫХ СИСТЕМ ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ.
Стохастический анализ – это метод решения широкого класса задач статистического оценивания. Он предполагает изучение массовых эмпирических данных путем построения моделей изменения показателей за счет факторов, не находящихся в прямых связях, в прямой взаимозависимости и взаимообусловленности. Стохастическая связь существует между случайными величинами и проявляется в том, что при изменении одной из них меняется закон распределения другой. Так если случайная величина Х- функция двух групп случайных величин Z и v, X=f(Z1, Z2,..., Zn; v1, v2,...,vn), а случайная величина Y – функция двух групп случайных величин Y=Y(Z1, Z2,..., Zn; v1, v2,..., vn), то между X и Y есть стохастическая связь.
В основе построения стохастических моделей лежит обобщение закономерностей варьирования значений изучаемых экономических показателей. Предпосылкой для применения стохастического подхода моделирования связей служит качественная однородность совокупности (относительно изучаемых связей) и варьирования признаков по хозяйственным объектам и периодам.
Стохастическое моделирование можно применять в анализе хозяйственной деятельности, если есть возможность составить совокупность наблюдений. Моделирование ведется методами математической статистики, которые позволяют исследовать опосредованные причинно-следственные связи показателей производственно-хозяйственной деятельности с факторами и условиями производства. Детерминированное моделирование в данном случае не всегда возможно. С помощью математико-статистических приемов можно обойтись без специальных экспериментов.
В экономическом анализе выделяются следующие наиболее типичные задачи стохастического анализа:
· изучение наличия и тесноты связей между функцией и факторами, а также между факторами;
· ранжирование и классификация факторов экономических явлений;
· выявление аналитической формы связи между изучаемыми явлениями;
· сглаживание динамики изменения уровня показателей;
· изучение размерности (сложности, многогранности) экономических явлений;
· количественное изменение информативных показателей;
· количественное изменение влияния факторов на изменение анализируемых показателей (экономическая интерпретация полученных управлений).
Стохастическое моделирование и анализ связей между изученными показателями начинаются с корреляционного анализа.
Корреляция состоит в том, что средняя величина одного из признаков изменяется в зависимости от значения другого. Признак, от которого зависит другой признак, принято называть факторным. Зависимый признак именуют результативным. В каждом конкретном случае для установления факторного и результативного признаков в неодинаковых совокупностях необходим анализ природы связи. Так, при анализе различных признаков в одной совокупности заработная плата рабочих в связи с их производственным стажем выступает как результативный признак, а в связи с показателями жизненного уровня или культурными потребностями – как факторный. Часто зависимости рассматривают не от одного факторного признака, а от нескольких. Для этого применяется совокупность методов и приемов выявления и количественной оценки взаимосвязей и взаимностей между признаками.
При исследовании массовых общественно-экономических явлений между факторными признаками проявляется корреляционная связь, при которой на величину результативного признака влияет, помимо факторного, множество других признаков, действующих в разных направлениях одновременно или последовательно. Часто корреляционную связь называют неполной статистической или частичной в отличие от функциональной, которая выражается в том, что при определенном значении переменной (независимая переменная – аргумент) другая (зависимая переменная – функция) принимает строгое значение.
Корреляционную связь можно выявить только в виде общей тенденции при массовом сопоставлении фактов. Каждому значению факторного признака будет соответствовать не одно значение результативного признака, а их совокупность. В этом случае для вскрытия связи необходимо найти среднее значение результативного признака, а их совокупность. В этом случае для вскрытия связи необходимо найти среднее значение результативного признака для каждого значения факторного.
Проблема измерения связи имеет две стороны: выяснение формы и тесноты. При определение формы связи выявляется изменение средней величины результативного признака в зависимости от изменения факторного. Выбор тех или иных показателей тесноты корреляционной связи зависит от ее формы. Под формой связи понимают тип аналитической формулы, выражающей зависимость между рассматриваемыми признаками. Различают связь прямую, при которой с ростом (снижением) факторного признака у результативного обнаруживается тенденции к увеличению (уменьшению), и обратную, когда с увеличением (уменьшением) факторного признака результативный снижается (увеличивается).
Форма корреляционной зависимости характеризует тенденцию, проявляющуюся в изменениях рассматриваемого признака с изменением признака-фактора. Если наблюдается тенденция равномерного возрастания или убываний значений признака, то зависимость называется прямолинейной, в противном случае – криволинейной.
Уравнивание корреляционной связи (уравнение регрессии) – аналитическое. С его помощью выражается связь между признаками (иногда форма связи). Различают прямолинейное (прямая линия) и криволинейное (парабола, гипербола) уравнения.
Линии на графиках, изображающие тенденции в изменения признака, коррелируемого с признаком-фактором, называются линиями регрессии. В них находит графическое выражение форма связи.
При использовании корреляционно-регрессивного приема анализа модель изображается в виде уравнения регрессии типа y=f(x), где у – зависимая переменная (результативный признак или функция от ряда факторов-аргументов);х – независимые переменные (факторы-аргументы). Парной корреляцией называется корреляционная зависимость между двумя признаками.
Простейшим уравнением, характеризующим прямолинейную зависимость между двумя признаками, служит уравнение прямой линии: Y = a + bx, где х и у(х) – соответственно независимый и зависимый признак; a и b – параметры уравнения.
Уравнение прямой линии описывает такую связь между двумя признаками, при которой с изменением признака-фактора происходит равномерное возрастание или убывание значений зависимого признака (рис. 1.1.)
Количество наблюдений при прямолинейной
|
В качестве примера прямолинейной зависимости
|
и производительности труда (табл. 1.1.)
| Год (период) | Производительность труда (у),тыс. руб. | Фондовооруженность труда работающих (х), тыс. руб. |  
| 
| 
|
| 1-й 2-й 3-й 4-й 5-й 6-й 7-й 8-й 9-й 10-й | 6,2 6,6 6,9 6,8 7,3 7,6 8,6 9,1 10,6 11,2 | 1,6 1,8 2,0 2,0 2,3 2,4 2,5 2,6 2,6 2,8 | 9,9 11,9 13,8 13,6 16,8 18,2 21,5 23,7 27,6 31,4 | 2,6 3,2 4,0 4,0 5,3 5,8 6,3 6,8 6,8 7,8 | 38,4 43,6 47,6 46,2 53,3 57,8 74,0 82,8 112,4 125,4 |
| Итого | 80,9 | 22,6 | 188,4 | 52,6 | 681,5 |
|
При планировании производительности труда важно установить темпы ее роста в зависимости от увеличения фондовооруженности.
Связь между производительностью и фондовооруженностью труда можно выразить в виде уравнения прямой линии: 
, где 
- число наблюдений; 
- постоянная величина, независимая от изменения данного фактора.
Для выяснения связи рассчитаем коэффициент корреляции по формуле: 
Коэффициент корреляции по абсолютной величине может принимать значения в пределах от 0 до 1. Если между двумя показателями не существует связи, коэффициент равен 0, если связь тесная, - он близок к 1.
Если коэффициент корреляции равен 1, значит, результативный признак полностью зависит от признака-фактора, т. е. по существу корреляционная зависимость совпадает с функциональной. Следовательно, чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем теснее связь между явлениями и наоборот.
Для нахождения неизвестных параметров a и b решим систему так называемых нормальных уравнений: 
; 
. Величина xy находится умножением значений х на y и последующим суммированием произведений.
Для исчисления величины следует значения х возвести в квадрат и полученные результаты суммировать.
Числовые значения ху, х, у, рассчитываются на основании фактических данных из табл.1.1.
В результате подстановки данных в систему уравнений получаем:
80,9 = 10 а + 22,6 b; 188,4 = 22,6 а + 52,6 b.
Отсюда а = +6,7; b = 0,912.
Значит, уравнение, представляющее связь между фондовооруженностью и производительностью труда работающих, имеет вид у(х) = 6,7 + 0,912 х. Следовательно повышение фондовооруженности труда на 1000 руб. приводит к росту его производительности на 912 руб. Эти данные учитываются при перспективном и текущем планировании роста производительности труда.
Использование множественной корреляции в экономическом анализе. В зависимости от количества отобранных факторов различают парные и многофакторные модели. Из многофакторных используется: линейные 
; степенные 
; логарифмические 
модели. Они удобны тем, что их параметры 
экономически интерпретируется.
В экономических расчетах предпочтение отдается линейным моделям, что обусловлено следующими причинами:
1.Относительная простота и меньший объем вычислений;
2.Массовые экономические процессы, как правило, подчиняются закону нормального распределения, которому свойственны линейные формы связи.
Факторы, включаемые в корреляционно-регрессивную модель, отбираются в несколько приемов: логический отбор в соответствии с экономическим содержанием; отбор существенных факторов по оценки их значимости по t-критерию Стьюдента либо F-критерию Фишера; последовательный отсев незначимых факторов. При расчетах множественной корреляции применяется степень точности 5%, что соответствует вероятности Р=0,05.
Корреляция рядов динамики имеет некоторые особенности. Кроме кратковременных колебаний (годовых, квартальных, месячных), в ряду имеется еще один компонент – общая тенденция в изменения показателей ряда (тренд). При этом имеет место автокорреляция – зависимость между последовательными (то есть соседними) значениями уровней динамического ряда.
Для проверки наличия автокорреляции в динамических рядах вычисляется критерий Дарбина – Уотсона 
, где 
и 
- соответствующие уровни динамического ряда. Его значения находятся в пределах от 0 до 4. Если расчетные значения критерия близки к 2, значит, автокорреляция отсутствует; если dэ <0 - динамический ряд содержит автокорреляцию; если dэ = 4 – в динамическом ряду не существует автокорреляции.
Для определения выровненного ряда (тренда) с целью его последующего исключения чаще всего прибегают к механическому сглаживанию и аналитическому выравниванию методом наименьших квадратов.
Механическое сглаживание ведется с помощью скользящей, или подвижной средней. Этот способ состоит в вычислении каждой новой средней одного члена ряда слева и присоединении одного члена ряда слева и одного справа.
Кроме статистических характеристик (Табл.1.2) рассчитываются также их ошибки. Величина ошибки отражает диапазон, в котором находится та или иная статистическая характеристика.
| Показатели | Их содержание и обозначение |
| Средне арифметическое Дисперсия Стандартное отклонение (средне-квадратическое) Асимметрия Экцесс Вариация | Показывает среднее арифметическое значение y и последующих х в порядке их ввода  .
Средний квадрат отклонений вариантов (х) от средней арифметической ( ). Является мерой вариации, т. е. колеблемости признака  .
Вычисляется как средняя из отклонений вариантов от их средней арифметической. Представляет собой меру колеблемости.
Коэффициент асимметрии Ка колеблется от -3 до +3. Если Ка>0, то асимметрия правосторонняя, если Ка<0, то левосторонняя, если Ка=0, то вариационный ряд считается симметричным.
Крутость распределения, т. е. островершинность или плосковершинность кривой на графике. Если Е>3, то распределение островершинное, при Е<3 – низковершинное.
Коэффициент вариации V – относительная величина (%), характеризующая колеблемость признака от среднего арифметического. Если V<10%, изменчивость вариационного ряда незначительна; изменчивость средняя если 10%≤V≤20%; если 20%≤V≤33% - значительна; если V≥33%, информация неоднородна и ее следует исключить из дальнейших расчетов или отбросить аномальные (нетипичные) наблюдения.
|
|
Матрица коэффициентов парной корреляции. Для измерения тесноты связи между факторами и результативным показателем исчисляют парные, частные и множественные коэффициенты корреляции. Они обладают следующими свойствами:
-1 ≤ r ≤1;
если r = 0, линейная корреляционная связь отсутствует;
если [r] = 1, между переменными х и у существует функциональная зависимость;
связь считается сильной, если [r] ≥ 0,7. При [r] ≤ 0,3 – связь слабая.
Парные коэффициенты рассчитываются для всевозможных пар переменных без учета влияния других факторов. Чтобы учесть взаимное влияние факторов, исчисляются частые коэффициенты, которые отличаются от первых тем, что выражают тесноту корреляционной зависимости между двумя признаками при устранении изменений, вызванных влиянием других факторов модели.
Матрица критериев некоррелированности необходима для выбора наиболее значимых факторов, чье совместное влияние формирует его величину. При этом исключению обычно подлежат факторы, которые при парном коррелировании друг с другом дают высокий линейный коэффициент, превышающий по абсолютной величине 0,85. Наличие такой связи между двумя факторами называют коррелиарностью, а между несколькими – мультиколлинеарностью. На основании данных матрицы машина отвергает или не отвергает гипотезу о мультиколлинеарности.
Коэффициенты множественной детерминации представляют собой квадрат коэффициента корреляции. Он показывает, на сколько процентов вариация результативного показателя зависит от влияния избранных факторов.
Вектор значений Фишера используется для оценки множественного коэффициента корреляции и уравнения регрессии. Расчетные значения вектора значений сравниваются с табличными.
Для оценки значимости факторов необходима матрица значений распределения Стьюдента. Расчетные значения здесь также сравниваются с табличными. После этого начинается шаговый регрессивный анализ. Его результатом становится уравнение регрессии
где а 0 – свободный член уравнения; х 1, х 2,…, х n – факторы, определяющие результатный показатель в его единицах измерения.
Далее следует группа оценочных показателей уравнения регрессии в целом:
F – отношение Фишера для оценки множественного коэффициента корреляции и уравнения регрессии в целом; d э –отношение Дарбина – Уотсона для определения наличия автокорреляции в рядах динамики; э – коэффициент эластичности – отношение изменения (в процентах) одного признака при изменении на 1% другого. Для f (x) коэффициент эластичности обращается в э = 
, где 
– производная. Показатели эластичности вычисляются в статике и динамике; бета-коеффициенты и другие статистические характеристики, которые не интерпретируются с экономической точки зрения.
Интерпретацию выходной информации можно последить на примере корреляционного анализа фондоотдачи. Для построения на первом этапе отобраны следующие факторы:
Х1 – удельный вес машин и оборудования в общей стоимости основных производственных фондов, %;
Х2 – электрооворуженность рабочих, тыс. кВт∙ч;
Х3 – уровень использования производственной мощности, %.
Числовые характеристики анализируемых показателей представлены в таблице 1.3.
| Число колебаний | Y | X1 | X2 | X3 |
| 1.47 1.25 1.82 1.45 1.75 | 32.00 30.58 34.12 32.17 33.78 | 34.08 35.89 36.93 32.31 34.91 | 88.98 87.27 95.00 88.17 90.89 | |
| 1.79 | 33.96 | 40.25 | 92.40 |
|
Для оценки колеблемости показателей необходимы их статистические характеристики (Табл. 1.4.).
Данные таблицы показывают, что незначительным колебаниям подвержены факторы Х3 и Х1; средняя колеблемость присуща функции Y, значительная – фактору Х2. Однако коэффициенты вариации показателей не превышают 33%, что свидетельствует об однородности исходной информации.
| Шифр показа-теля | Среднее Арифмети-ческое | Дисперсия | Стандартное отклонение | Асимме-трия | Эксцесс | Вариа- ции |
| У1 Х1 Х2 Х3 | 1,641 33,178 36,164 92,061 | 0,06456 3,614 2,626 17,095 | 0,25409 1,9187 9,0899 4,1347 | -0,43878 0,48522 -0,96513 0,53833 | -0,72032 0,63515 0,96761 -1,2665 | 15,484 5,7831 25,135 4,4912 |
|
Коэффициенты асимметрии говорят о правосторонней асимметрии распределения рядов Х1 и Х3 и о левостороннем распределении рядов Х2 и У.
Величина эксцесса для всех показателей не превышает 3, что подтверждает низковершинное распределение вариационных рядов. Указанные коэффициенты интерпретируются геометрически.
Далее анализируется матрица коэффициентов парной корреляции (табл. 1.5.).
| Шифр показателя | У | Х1 | Х2 | Х3 |
| У Х1 Х2 Х3 | 1,0000 0,93778 0,0933618 0,92272 | 1,0000 0,093838 0,92602 | 1,0000 0,0786 | 1,0000 |
|
В данном примере наиболее тесная связь наблюдается между показателями фондоотдачи (У), идеального веса активной части фондов (Х1) и уровня загрузки производственной мощности (Х3). Парные коэффициенты корреляции соответственно составили 0,937778 и 0,92272.
Расчет парных коэффициентов корреляции выявил слабую связь фондоотдачи с электровооруженностью труда Х2 – 0,09361.
Гипотеза о наличии мультиколлинеарности отвергается, т. е. все показатели относительно независимы.
Для рассматриваемого примера вектор коэффициентов множественной детерминации равен: У = 0,9002; Х1 = 0,9043; Х2 = 0,0100; Х3 = 0,8820. Вектор интерпретируется следующим образом: изменение (вариация) функции (У) на 90,02% зависит от изменения избранных факторов-аргументов; фактора Х1 – на 90,43% от изменения функции (У) и остальных факторов и т. д.
В таблице 1.6. приведены частные коэффициенты корреляции. Они показывают связь каждой пары факторов в чистом виде при неизменном значении остальных параметров.
| Шифр показателя | У | Х1 | Х2 | Х3 |
| У Х1 Х2 Х3 | 1,0000 0,5713 0,02791 0,4148 | 1,0000 0,02994 0,4541 | 1,0000 0,03164 | 1,0000 |
|
Частные коэффициенты корреляции ниже парных. Это говорит о том, что чистое влияние факторов слабее, чем влияние оказываемое отдельными факторами во взаимодействии с остальными.
Статистическая значимость, надежность связи, выраженная частными коэффициентами корреляции, проверяется по t -критерию Стьюдента путем сравнения расчетного значения с табличными при заданной степени точности (Табл. 1.7.).
| Шифр показателя | У | Х1 | Х2 | Х3 |
| А | ||||
| У Х1 Х2 Х3 | 1,0000 4,1769 0,1675 2,7359 | 1,0000 0,1797 3,0583 | 1,0000 0,1899 | 1,0000 |
Обычно в практике экономических расчетов степень точности берется равной 5%, что соответствует вероятности р = 0,05. В таблице приведены критические значения t -критерия Стьюдента для вероятности р = 0,05 и 0,01 при различном числе степеней свободы, которые определяются как (n –1), где n –число наблюдений.
В нашем примере при числе степеней свободы 40 – 1 = 39 табличное значение t табл. = 2,021. Расчетные значения t -критерия (первая графа таблицы) для факторов Х1 и Х3 оказались выше табличных, что свидетельствует о значимости этих факторов для анализируемой функции. Фактор Х2 как незначимый для функции должен быть исключен из дальнейших расчетов.
Далее на ЭВМ проводится шаговый анализ с постепенным включением в модель избранных факторов по критерию значимости. На каждом шаге рассматриваются уравнения регрессии, коэффициенты корреляции и детерминации, F-критерий, стандартная ошибка оценки и другие показатели. После каждого шага перечисленные оценочные показатели сравниваются с рассчитанными на предыдущем шаге. Уравнение регрессии будет тем точнее, чем ниже величина стандартной ошибки (табл. 1.8.).
| № шага | Ввод переменной | Уравнение регрессии | Множественные коэффициенты | Отношение | Стандартная ошибка оценки | |
| Корреляции | Детерми- нации | |||||
| I | X1 | У = -2,481 +0,1242 Х1 | 0.9378 | 0.8797 | 277.2 | 0.0893 |
| II | X3 | У = -3,085+0,077 Х1 + + 0,0234 Х3+0,0002 Х2 | 0.9488 | 0.9001 | 166.7 | 0.0824 |
| III | X2 | У = -3,091+0,0773 Х1+ + 0,0234 Х3+0,0002 Х2 | 0.9488 | 0.9002 | 108.3 | 0.0835 |
|
Если добавление последующих факторов не улучшает оценочные показатели, а иногда и ухудшает их, необходимо остановиться на том шаге, где показатели наиболее оптимальны.
Результаты шагового анализа представлены в Табл. 1.8. свидетельствуют о том, что сложившиеся взаимосвязи наиболее полно описывает двухфакторная модель, полученная на втором шаге: у = У = -3,085 = 0,0774 Х1 + 0,0234 Х3.
Статистический анализ данного уравнения регрессии подтверждает, что оно значимо: фактическое значение F-критерия Фишера равно 166,7, что значительно превышает Fтабл. = 3,25. Табличное значение F-критерия находится по заданной вероятности (р = 0,95) и числе степеней свободы для столбца таблицы (m – 1), где m – число параметров уравнения регрессии, включая свободный член, и для строки таблицы (n – m), где n – число наблюдений. Например F-табличное находится на пересечении столбца 2 (3 – 1) и строки 37 (40 – 3) и равно 3,25 (Табл. 1.9.).
Коэффициент множественной корреляции, равный 0,9488, свидетельствует о тесной взаимосвязи между фондоотдачей и удельным весом активной части основных фондов, а также уровнем использования производственной мощности. Величина коэффициента множественной детерминации 0,9001 свидетельствует о том, что изменение детерминации на 90,01% зависит от изменения учтенных факторов.
Параметры уравнения регрессии интерпретируется следующим образом: коэффициент регрессии при Х1 (0,0774) показывает, что увеличение удельного веса машин и оборудования в общей стоимости основных производственных фондов на 1% ведет к росту фондоотдачи на 7,74 копейки. Повышение уровня загрузки мощностей на 1% поднимает фондоотдачу на 2,34 копейки.
| Число степеней свободы (n – 1) | p = 0.05 | р = 0.01 | Число степеней cвободы (n – 1) | р = 0,05 | р = 0,01 |
| 12,69 4,302 3,183 2,777 2,571 2,447 2,368 2,307 2,263 2,227 2,200 2,179 2,161 2,145 2,131 2,119 2,110 2,100 2,093 2,086 | 63,655 9,924 5,841 4,604 4,032 3,707 3,500 3,356 3,250 3,169 3,138 3,055 3,012 2,997 2,946 2,921 2,898 2,877 2,860 2,846 | 2,078 2,074 2,069 2,064 2,059 2,054 2,052 2,049 2,045 2,042 2,037 2,032 2,027 2,025 2,021 2,020 2,017 2,015 2,012 2,000 | 2,832 2,818 2,807 2,796 2,787 2,778 2,771 2,464 2,757 2,750 2,739 2,728 2,718 2,711 2,704 2,704 2,696 2,691 2,685 2,661 |
|
В случае обратной связи, т.е. при уменьшении изучаемой функции в связи с ростом фактора-аргумента, коэффициент регрессии имеет знак «минус».
Свободный член уравнения ао = -3,085 экономически не интерпретируется. Он определяет положение начальной точки линии регрессии в системе координат. Численное значение коэффициентов эластичности отражает, на сколько процентов изменится функция при изменении данного фактора на 1% (имеется в в иду относительный прирост, а не абсолютный) приведет к росту фондоотдачи на 1,65%; улучшение уровня использования мощности на 1% повысит фондоотдачу на 1,3%.
По абсолютной величине бета-коэффициентов можно судить о том, в какой последовательности находятся факторы по реальной возможности улучшения функции. Для нашего примера последовательность переменных выглядит следующим образом:
| Номер переменной | |||
| Бета-коэффициенты | 0,584 | 0,382 | 0,009 |
Отношение Дарбина (коэффициент Дарбина – Уотсона) равно 1,215. Значит, в рядах динамики имеется автокорреляция.
Заключительную матрицу данных полностью характеризуют соответствующие заготовки (по столбцам):
1. У – фактическое.
2. У – расчетное.
3. Отклонение (Уфакт – Урасч).
4. Доверительные интервалы (границы, выход за пределы которых имеет незначительную вероятность).
Для устранения автокорреляции модель пересчитана по приростным величинам. В результате получено следующее уравнение регрессии: У = -0,0079 + 0,0345; Х3 + 0,0475 Х1. Оно значимо: величина F-критерия равна 178,3. Коэффициент Дарбина составляет 2,48, т.е. близок к 2, что говорит об отсутствии автокорреляции. Коэффициент множественной корреляции (0,9518) выше, чем рассчитанный в первом случае. Величина коэффициента множественной детерминации также выше (0,9060). В окончательном виде уравнение регрессии интерпретируется таким образом: повышение уровня загрузки (производственной мощности) на 1% приведут к росту фондоотдачи на 3,45 копейки, а удельного веса машин и оборудования в общей стоимости основных производственных фондов – на 4,75 копейки.
Справочный материал. Обработка данных при постановлении множественных моделей корреляционно-регрессивной зависимости производится на ЭВМ по типовой программе.
Исходные данные должны быть достоверны, экономически интерпретируемы, количественно соизмеримы. Расчеты оформляются в виде таблице, в которой первая графа отражает число наблюдений n, вторая (у) – результативный показатель, каждая следующая (х) – факторы в любом порядке, так как факторы машина вводит в процессе шагового анализа по значимости критерия.
При заполнении таблицы исходных данных следует указывать одинаковое количество знаков после запятой в пределах одной графы. Для предотвращения ошибок необходимо использовать данные с возможно большим числом значащих цифр (не менее 5). Процентные отношения требуется давать с точностью до 0,001.
В таблице 1.10. приведены значения F-критерия для р = 0,95 в зависимости от числа степеней свободы: (m –1) – для столбца и (n – m) – для строки, где m – число параметров уравнения регрессии, включая свободный член; n – число наблюдений.
| m -1 n - m | ||||||||||
| 4,96 4,54 4,49 4,45 4,41 4,38 4,35 4,32 4,30 4,15 4,14 4,13 4,12 4,11 4,10 | 4,10 3,68 3,36 3,59 3,55 3,52 3,49 3,47 3,44 3,30 3,29 3,28 3,26 3,26 3,25 | 3,71 3,29 3,24 3,20 3,16 3,13 3,10 3,07 3,05 2,90 2,89 3,28 2,87 2,86 2,85 | 3,48 3,06 3,01 2,96 2,93 2,90 2,87 2,84 2,82 2,67 2,66 2,88 2,64 2,63 2,62 | 3,33 2,90 2,85 2,81 2,77 2,74 2,71 2,68 2,66 2,51 2,50 2,65 2,48 2,48 2,46 | 3,22 2,79 2,74 2,70 2,66 2,63 2,60 2,57 2,55 2,40 2,39 2,49 2,37 2,36 2,35 | 3,14 2,70 2,66 2,62 2,58 2,55 2,52 2,49 2,47 2,32 2,31 2,38 – 2,28 2,26 | 3,07 2,64 2,59 2,55 2,51 2,48 2,45 2,42 2,40 2,25 2,24 2,23 2,22 2,21 2,14 | 3,02 2,59 2,54 2,50 2,46 2,43 2,40 2,37 2,35 2,19 2,18 2,17 2,16 2,15 2,14 | 2,97 2,55 2,49 2,45 2,41 2,38 2,35 2,32 2,30 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 |
|
МЕТОД ДИСКОНТИРОВАНИЯ.
Дисконтирование – это процесс пересчета будущей стоимости капитала, денежных потоков или чистого дохода в настоящую. Ставка по которой производится дисконтирование, называется ставкой дисконтирования (ставкой дисконта).
Основная посылка, лежащая в основе понятия дисконтированного потока реальных денег, состоит в том, что деньги имеют временную цену, т. е. сумма денег, имеющаяся в наличии в настоящее время, обладает большой ценностью, чем такая же сумма в будущем. Эта разница может быть выражена как процентная ставка (р), характеризующая относительные изменения за определенный период (обычно равный году).
Предположим, что Ф(t) – номинальная цена будущего потока реальных денег в году t и Ф(0) – цена этого ожидаемого притока или оттока в настоящее время (текущая цена). Тогда (предполагая, что р – постоянная величина)
.
Смысл проведения расчетов методом дисконтирования состоит в том, чтобы определить сумму, которую следует заплатить сегодня с тем, чтобы получить планируемую отдачу от инвестиций в будущем.
Для применения метода дисконтирования об объекте инвестирования необходимо знать следующие исходные данные: величиной инвестиции, планируемые величины денежных потоков или чистого дохода, норма дисконтирования, срок проекта.
При расчете денежных притоков и оттоков (кеш-фло) учитывается не только поступления денежных средств от операционной и инвестиционной деятельности, но и потоки от финансовых результатов.
Чистый поток наличности (ЧПН) определяется как разность между притоками и оттоками наличности от операционной (производственной) и инвестиционной деятельности минус издержки по финансированию проекта.
Чистый дисконтированный доход (ЧДД) определяется как сумма ЧПН за расчетный период.
Пример расчета куммулятивного ЧДД приведен в приложении 1. Здесь куммулятивный чистый поток реальных денег (строка 9) рассчитывается сложением куммулятивного чистого потока реальных денег за предыдущий период и чистого потока реальных денег за отчетный год. Например, куммулятивный чистый поток реальных денег в 2002 (5-м) году равен – 8300 млн. руб. (-10000 + 1700). ЧДД (строка 10)рассчитывается по формуле ЧД = строка 8 / 
, где n – год с момента инвестирования, за который рассчитывается ЧДД. Куммулятивный ЧДД (строка 11) рассчитывается так же, как и куммулятивный чистый поток реальных денег.
Коэффициент дисконтирования для приведения чистых денежных потоков к начальному периоду определяется по формуле
где Д – ставка дисконтирования (норма дисконта); t – год, за который дисконтируется чистый доход, начиная с момента инвестирования.
Значение коэффициентов дисконтирования 
можно также получить из специальных таблиц дисконтированных величин.
Норма дисконта отражать прибыль инвестора, которую он мог бы получить при инвестициях в другой проект. Она является минимальной нормой прибыли, ниже которой инвестор счел бы свои вложения не выгодными.
ЧДД характеризует интегральный эффект от реализации проекта и определяется как величина, полученная дисконтированием разницы между всеми готовыми оттоками и притоками реальных денег, накапливаемых в течении горизонта расчета проекта Т (при постоянной ставке процента отдельно для каждого года):
,
где 
– чистые потоки наличности в годы t = 1,2,3,…,T.
Формулу для расчета ЧДД можно представить в следующем виде:
ЧДД = П(0) + П(1) ∙ К1 + П(2) ∙ К2 + … + П(Т) ∙ К t.
Чистый дисконтированный доход как критерий для оценки эффективности инвестиций достаточно корректен и экономически обоснован. Во-первых, ЧДД учитывает изменение стоимости денег во времени. Во-вторых, ЧДД зависит только от прогнозируемого чистого денежного потока и альтернативной стоимости капитала. В-третьих, ЧДД имеет свойство аддитивности, т. е. ЧДД нескольких инвестиционных проектов можно складывать, так как все они выражены в сегодняшних деньгах.