I тип. Задачи на построение образов фигур при движении.
№1. Дан произвольный четырёхугольник АBCD, у которого диагональ АС является биссектрисой угла BAD. Построить образ данного четырёхугольника при движении , где ℓ = (AC), φ =
.
№2 ABCD – трапеция, диагонали конторой пересекаются в точке О. Построить образ данной трапеции при движении .
№3 В треугольнике ∆ABC [AD] –, биссектриса . Построить образ ∆ABC при движении
, где ℓ = (AD), φ =
.
№4Построить образ параллелограмма ABCD в композиции , где φ =
, а О – центр параллелограмма.
№5Дан разносторонний ∆АВС с биссектрисой AD. Построить образ ∆АВС в движении , где
, ℓ – прямая, проходящая через середину[АС].
№6Построить образ параллелограмма ABCD в композиции , где α =
DAB,
, где О – центр параллелограмма.
№7Построить образ ромба ABCD в композиции , где О –центр ромба, φ = 900,
, [ОМ) – биссектриса
DOC.
№8АВСD – квадрат. Построить его образ в композиции , где ℓ = (DA),
, О – центр квадрата, А1 – середина [ВС].
№9Построить образ произвольной трапеции ABCD в композиции , если α =
DOC, О = (АС)
(DB).
№10Построить образ ∆АВС в композиции , если ∆АВС равносторонний, точка М – его центр,
,
.
II тип. Задачи на выделение элементов, определяющих преобразование.
№11 Даны две окружности равных радиусов ω1(О1,R) и ω2(О2,R) и произвольный ∆АВС. Построить образ ∆АВС в движении, которое меняет ориентацию фигуры не имеет неподвижных точек, и при котором ω1(О1)→ ω2(О2) и (О1О2)→(О1О2).
№12 Даны два равных не параллельных отрезка [AB] и [A1B1] и ∆ MNP. Построить образ ∆MNP в скользящей симметрии, при которой [AB] → [A1B1]
№13 Дан ∆АВС, построить его образ при повороте, который А → В, а прямую (СА) → (СВ).
|
№14 Даны две окружности равных радиусов ω1(О1,R) и ω2(О2,R) и произвольный ∆АВС. Построить образ ∆АВС в движении, которое меняет ориентацию фигуры не имеет неподвижных точек, и при котором ω1(О1)→ ω2(О2) и (О1О2)→(О1О2).
№15 В ∆АВС точки А1, В1, С1 – середины его сторон ВС, АС, АВ. Построить образ ∆АВС в движении, которое не имеет неподвижных точек, меняет ориентацию фигуры и при котором (В1С1)→ (В1С1) и В→А1.
№16 В произвольном треугольнике ∆АВС проведены медиана ВВ1 и биссектриса АА0. Построить образ ∆АВС в движении, которое не меняет ориентацию фигуры, имеет одну неподвижную точку, в которой (АА0)→(АА0) и (ВВ1)→(ВВ1).
№17 Дан разносторонний ∆АВС. Построить его образ в движении, которое имеет одну неподвижную точку, не меняет ориентацию фигур и при котором А→В, а прямая СА→СВ.
№18 Две окружности, равных радиусов ω1(О1,R) и ω2(О2,R) касаются в точке В. Точка А1 = ω1(О1) (О1О2). Точка А2
ω2(О2) и [А2О2]
(О1О2). Построить образ точки В в движении, которое не меняет ориентации фигуры, имеет одну неподвижную точку, при котором О1→О2 и А1→А2.
№19 Точки M и L – середины сторон АВ и АС ∆АВС в движении, которое не меняет ориентации фигуры, не имеет неподвижных точек, при котором (АВ)→(АВ) и (ВС)→(ML).
№20Даны два конгруэнтных произвольно расположенных квадрата. Построить центр поворота, отображающего один квадрат на другой
IIIтип. Решение задач на доказательство с применением осевой симметрии.
№21. На основаниях равнобочной трапеции вне её построены квадраты. Доказать, что отрезок, соединяющий центры квадратов проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.
|
№22. В равнобедренном треугольнике АВС боковые стороны ВА и ВС соответственно разделены точками М и Р в отношении 1:3, считая от точки В. Доказать, что прямые АР и МС пересекаются в точке, лежащей на высоте треугольника.
№23. Две окружности ω(О1, R1) и ω(О2, R2) пересекаются в точках P и Q. Доказать, что угол между касательными в точке Р, равен углу между касательными, проведёнными в в точке Q.
№24. На равных сторонах АВ и ВС треугольника АВС вне его построены квадраты с центрами О1 и О2. Доказать, что прямые О1А и О2С пересекаются на биссектрисе угла В треугольника и отрезки О1А и О2С равны.
№25. Точки А и В расположены на различных сторонах угла на одинаковых расстояниях от его вершины О и соединены с произвольной точкой Q биссектрисы угла.
№26. Доказать, что [AQ] = [BQ] и что [AQ] и [BQ] образуют с прямой OQ равные углы. Стороны AB, BC, СА правильного треугольника АВС разделены точками С1, А1, В1 (соответственно) в отношении│АС1│:│С1В│= =│СВ1│:│В1А│ = │ВА1│:│ А1С│= 2:1. Доказать, что треугольник А1В1С1 – правильный.
№27. Точки А и В расположены на различных сторонах угла на одинаковых расстояниях от его вершины О и соединены с произвольной точкой Q биссектрисы угла. Доказать, что [AQ] = [BQ] и что [AQ] и [BQ] образуют с прямой OQ равные углы.
№28. Точки А и В расположены на различных сторонах угла на одинаковых расстояниях от его вершины О и соединены с произвольной точкой Q биссектрисы угла. Доказать, что [AQ] = [BQ] и что [AQ] и [BQ] образуют с прямой OQ равные углы.
|
№29. Точки А и В расположены на различных сторонах угла на одинаковых расстояниях от его вершины О и соединены с произвольной точкой Q биссектрисы угла. Доказать, что [AQ] = [BQ] и что [AQ] и [BQ] образуют с прямой OQ равные углы.
№30. Даны угол и окружность, центр которой лежит на биссектрисе этого угла и которая пересекает стороны угла. Доказать, что хорды окружности, расположенные на сторонах угла равны между собой.