VIтип. Решение задач на доказательство с применением подобия плоскости.

№51. На основаниях и трапеции вне ее построены квадраты. Доказать, что прямая, соединяющая центры квадратов, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

№52 Окружности и пересекаются в точках и . Через точку проведены диаметры и данных окружностей. Доказать, что прямая проходит через точку .

№53 На основаниях ВС и AD трапеции ABCD построены квадраты ВCMN и ADEF, вершины M, N, E, F которых принадлежат внешней области трапеции. Доказать, что [NE] ∩ [MF] = O, где O = [AC] ∩ [BD].

№54 Две окружности ω(О₁, R₁) и ω(О₂, R₂) касаются в точке Р. Через точку Р проведена секущая, пересекающая данные окружности в точках А₁ и А₂ соответственно, Доказать, что касательные к окружностям в точках А₁ и А₂ параллельны.

№55 Две окружности с разными радиусами касаются в точке М. Через точку М проведены две прямые, которые пересекают окружности, кроме точки М, соответственно в точках А и В, C и D. Доказать, что прямая, проходящая через центры треугольников МАВ и МСD, проходит через точку М.

№56 На основания трапеции ABCD вне её построены правильные треугольники АВМ и СВL. Доказать, что прямая, соединяющая центры окружностей, описанных около треугольников АВМ и СВL проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

№57 Две окружности ω(О₁, R₁) и ω(О₂, R₂) с разными радиусами касаются в точке М. Через точку М проведены три прямые, пересекающий первую окружность в точках А₁, В₁, С_1, а вторую в точках А₂, В₂, С₂. Точки Р₁ и Р₂ ортоцентры треугольников А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂. Доказать, что прямая (Р₁Р₂) проходит через точку М.

№58 Точки Р и Q – середины сторон ВС и СD выпуклого четырёхугольника ABCD. Прямые АР и AQ делят [BD] на три равные части. Доказать, что [RP] = [PQ] = [QS], где R и S – точки пересечения прямой HQ с лучами AB и AD.

№59 На основаниях ВС и AD трапеции ABCD построены квадраты ВCMN и ADEF, вершины M, N, E, F которых принадлежат внешней области трапеции. Доказать, что [NE] ∩ [MF] = O, где O = [AC] ∩ [BD].

№60Две окружности ω(О₁, R₁) и ω(О₂, R₂) касаются в точке Р. Через точку Р проведена секущая, пересекающая данные окружности в точках А₁ и А₂ соответственно, Доказать, что касательные к окружностям в точках А₁ и А₂ параллельны.

ПРОГРАММА ЗАЧЁТА ПО ГЕОМЕТРИИ

А.Понятия

1. Преобразование плоскости (определение) способы задания, тождественное, обратное преобразования, композиция преобразований, инвариантные фигуры, групповые свойства)

2. Движение плоскости.

3. Параллельный перенос плоскости.

4. Осевая симметрия плоскости.

5. Поворот плоскости (вращение).

6. Центральная симметрия плоскости.

7. Скользящая симметрия плоскости.

8. Гомотетия плоскости.

9. Подобие плоскости.

10. Аффинное преобразование плоскости.

11. Конгруэнтные, подобные фигуры, аффинно-эквивалентные фигуры.

12. Предмет геометрии с точки зрения теории групп (метрическая, метрическая, евклидова и аффинная геометрия).

В.Теоремы (выводы).

1. Теорема о группе преобразований плоскости.

2. Теорема об образах аффинного и декартова прямоугольного реперов при движении.

3. Теорема о геометрическом задании движения.

4. Вывод уравнения движения

5. Классификация движений на основе уравнения движения.

6. Свойства движения плоскости.

7. Теорема о разложении поворота плоскости в композицию осевых симметрий.

8. Теорема о разложении параллельного переноса в композицию осевых симметрий. Разложение любого движения в композицию осевых симметрий.

9. Теорема о группе движений.

10. Свойства гомотетии плоскости.

11. Теорема о представлении подобия как композиции гомотетии и движения.

12. Теорема о группе подобий плоскости.