Задача 13. Доказать, что треугольник АВС равнобедренный, если звенья Z-молний, выпущенных из вершины А, равны.

Молнии в равнобедренном треугольнике.

Простейшая молния – это три равных отрезка, имеющих общие точки. Такие равные отрезки назовем звеньями молнии. На рис. 1 у молнии три звена АЕ, ЕК, КD.

Рассмотри молнии, расположенные внутри равнобедренного треугольника, с условием: первое и последнее звено соответственно на боковой стороне и основании. Конец и начало зигзага совпадает с вершиной треугольника и вершиной основания.

Z-молния (три звена).

Задача 1. Если три звена Z-молнии равны, то треугольника АВС равен 36⁰.

Доказательство: Пусть АЕ=ЕС=ВС=α, . Из треугольника АЕС (АЕ=ЕС), , , тк , то , а . Из треугольника ЕВС , .

Задача 2. Доказать, что в Z-молнии звено ЕС – биссектриса.

Действительно, тк .

Задача 3. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) биссектриса СЕ равна одному из звеньев Z-молнии АЕСВ. Доказать, что она равна и другому звену.

Доказательство: 1) Пусть СЕ=АЕ (рис. 2). Докажем, что СЕ=ВС. Действительно, тк , то , значит, СЕ=ВС. 2) пусть СЕ=ВС. Доказательство того, что СЕ=АС проходит аналогично.

Задача 4. В Z-молнии звенья АЕ и ВС равны. Доказать, что биссектриса СЕ равна каждому из них.

Доказательство: Проведем (рис. 3). Тогда DC=EB=DE (треугольник CDE – равнобедренный). Поскольку EB=DE, BC=AE и , то треугольник ADE равен треугольнику СВЕ и ЕС=АЕ, что и требовалось доказать.

Задача 5. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=АС) в молнии АЕСВ АЕ=ВС, а звено ЕС- биссектриса угла АСВ. Найти углы треугольника АВС.

Решение: По предыдущей задаче СЕ=АЕ=ВС, а значит .

Задача 6. Доказать, что треугольник АВС равнобедренный, если звенья двух Z-молний, выпущенных из вершины А, равны.

Доказательство: Пусть АЕ=ЕС=СВ=АЕ₁=Е₁В (рис. 4). Обозначим . Тогда . Далее .

Задача 7. Найти равнобедренный треугольник, в котором можно построить бесконечное количество Z-конфигураций.

Решение: Этим треугольником будет равнобедренный треугольник с углом 36⁰ при вершине (рис. 5). Алгоритм построения: строим первую молнии., проведя биссектрису угла в 72⁰. Получим треугольник ЕСВ, углы которого 36⁰, 72⁰, 72⁰. В нем снова разделим угол 72⁰ пополам биссектрисой ЕЕ₁. СЕ₁ЕВ – Z-конфигурация. Процесс повторяется бесконечно.

Z-молнии (четыре звена).

Рассмотрим Равнобедренный треугольник АВС (АВ=АС) с молнией АЕ=ED=DC=BC=α (рис. 6)

Задача 8. Найти углы равнобедренного треугольника АВС (АВ=АС) с Z-молнией: AE=ED=D=BC.

Решение: Пусть (рис. 6). Поскольку AE=ED, , а . Поскольку ED=CD, то , а (треугольник CDA) и ,

Задача 9. Найти в каком отношении звено DC делит угол АСВ.

Ответ: 2:1.

Задача 10. Если в Z-молнии равнобедренного треугольника АВС (АВ=АС, ) AE=ED=DC, то DC=CB.

Доказательство: Поскольку и , то BC=CD.

Задача 11. Если в треугольнике АВС АС=АВ, и BC=СD=DE, то AE=ED.

Доказательство: Пусть (рис. 7), тогда , а . Имеем .Поскольку треугольник EDC – равнобедренный, то . По условию . Тогда , значит треугольник AED – равнобедренный, AE=ED.

Задача 12. Если в Z-молнии равнобедренного треугольника АВС (АВ=АС, ), AE=ED=BC=a, то DC=a.

Доказательство: Проведем звено KD, равное a (рис. 8) и КР параллельно ВС. Тогда из задачи 10, AE=ED=KD=KP. Но тогда КР=ВС. Значит, точки К и С совпадают.

Задача 13. Доказать, что треугольник АВС равнобедренный, если звенья Z-молний, выпущенных из вершины А, равны.

Доказательство: Пусть (рис. 9).Из равнобедренных треугольников AED и AE₁D₁ . Как внешние углы треугольников ADE и AD₁E₁ и равны .

Поскольку треугольники CDE и BD₁E₁ равнобедренные, то и .

Из треугольника AD₁B угол CD₁B равен . Аналогично . Поскольку D₁B=CB, то , а значит, АВ=АС.