Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
Приходовский М.А.
Математика
Курс лекций
Семестр 3
Учебное пособие для специальности
Прикладная информатика в экономике»
Томск
ТУСУР
Электронное учебное пособие составлено по материалам лекций на ФСУ в группах 448-1,2 осенью 2019 года.
(ДОК №) - доказательства формул или теорем, которые попадают в теооретические билеты.
Оглавление
| Глава 1. Элементы теории поля.......................................... § 1. Криволинейные интегралы 2 рода......................................... § 2. Потенциальные поля.............................................................. Глава 2. Теория функций комплексного переменного........... § 1. Действия с комплексными числами......................................... § 2. Функции комплексного переменного...................................... § 3. Дифференцирование комплексных функций......................... § 4. Интегрирование комплексных функций................................. § 5. Интегральная формула Коши.................................................. Глава 3. Теория рядов................................................................. Глава 4. Особые точки и вычеты............................................. |
Оглавление по номерам лекций
| Лекция 1.......................................................................................... Лекция 2.......................................................................................... Лекция 3.......................................................................................... Лекция 4.......................................................................................... Лекция 5.......................................................................................... Лекция 6.......................................................................................... Лекция 7.......................................................................................... Лекция 8.......................................................................................... Лекция 9.......................................................................................... Лекция 10......................................................................................... Лекция 11......................................................................................... Лекция 12......................................................................................... Лекция 13......................................................................................... Лекция 14......................................................................................... Лекция 15......................................................................................... Лекция 16......................................................................................... |
ЛЕКЦИЯ 1. 02.09.2019
Глава 1. Элементы теории поля.
Криволинейные интегралы 2 рода
Вспомним строение криволинейных интегралов 2 рода. Пусть есть параметрически заданная кривая 
. Вектор, расположенный на касательной, обозначаемый 
либо 
и равный 
- это хорошо известный из физики вектор скорости.
Пусть также в каждой точке пространства (и в частности, на кривой), задана векторная функция 
. Векторная функция состоит из 3 координатных скалярных функций и имеет вид:
= 
.
Криволинейный интегралом 2-го рода (от векторной функции): 
.
Здесь в каждой точке скалярно умножаются векторы 
, таким образом, интегрируется в итоге скалярная величина, и результат вычисления такого интеграла - скалярная величина.
Физический смысл: работа силы по перемещению точки по кривой.
Формулы вычисления:
Скалярное произведение двух векторов, у каждого из которых по 3 координаты: 
и 
, который также можно записать в виде 
.
Более подробно для вычислений на практике:
1) Для параметрически заданной кривой в трёхмерном пространстве правая часть формулы пример такой длинный вид: 
На самом деле, ничего особо сложного в вычислениях нет, надо просто в функциях 
все переменные 
выразить через 
по тем формулам, которые задают параметрически кривую в пространстве. После этого всё сводится к определённому интегралу от одной переменной .
2) Для параметрически заданной кривой в плоскости: 
.
Определение. Работа векторного поля по перемещению точки по замкнутой кривой называется циркуляцией.
Обозначение: 
или 
.
Пример вычисления работы поля 
при перемещении точки по единичной окружности.
Задаём траекторию параметрически: 
, 
, 
.
При этом 
, 
.
= 
= 
= 
.
Далее рассмотрим взаимосвязь между двойным интегралом по плоской области и криволинейным интегралом по её границе (формула Грина). Вам давно известна формула Ньютона-Лейбница, выражающая взаимосвязь между интегралом по отрезку и значениями первообразной на его границе (граница состоит из 2 точек). Но подобные взаимосвязи есть также и и между плоской областью и её границей.
В рассматриваемом дальше случае граница области должна быть односвязной. Это означает, что внутри плоской области нет пустот, то есть областей, не принадлежащих данному множеству, т.е. каждый контур можно стянуть в точку. Например, кольцо само по себе как плоское множество является односвязным множеством, любую пару точек можно соединить какой-либо кривой. Но его граница не является односвязной, а состоит из двух окружностей, и не всякую пару точек на границе можно соединить кривой, лежащей на границе. Например, если А,В на внешней и внутреннней окружности, то соединяющая кривая проходит не только по границе:
