Классическая теория дисперсии

Дисперсия света

Дисперсия света — это явления, обусловленные зависимо­стью показателя преломления вещества от длины волны (или частоты):

(1)

где λ — длина волны света в вакууме.

Производную dn/dλ называют дисперсией вещества.

Для прозрачных бесцветных веществ график зависимости n(λ) в видимой части спектра имеет вид, показанный на рис.1. Интервал длин волн, в котором dn/dλ <0 (как на рисунке 1), соответствует нормальной дисперсии. Интервалы длин волн, где дисперсия вещества dn/dλ >0, соответствуют аномальной дисперсии. На рис.2 показан график зависимо­сти n(λ) с участками нормальной и аномальной дисперсии. За­метим, что область аномальной дисперсии совпадает с полосой поглощения (λ)

 

Рис.1. Рис.2.

Все вещества в той или иной степени являются диспергиру­ющими. Вакуум, как показали тщательные исследования, дис­персией не обладает.

Аналитический вид зависимости n(λ) в области нормальной дисперсии для не слишком больших интервалов длин волн мо­жет быть представлен приближенной формулой

(2)

где а и b положительные постоянные, значения которых для каждого вещества определяются из опыта.

 

Пример. На рис.1 и рис.2 изображены графики зависимости показате­ля преломления, вещества от

длины волны n(λ). Изобразим соответствующие графики зависимостей n (), где — цик­лическая частота света.

Рис. 3 Рис. 4

Поскольку ~1 /λ легко проверить, что графики n (), соответствующие указанным рисункам, таковы, как показано на рис.3 и 4. Причем, в случае графика, приведенного на рис.3, закон дисперсии в соответствии с формулой (2) принимает вид

 

где постоянная b' =b(2πc)²

Дисперсию света можно объяснить на основе электромагнит­ной теории и электронной теории вещества. Строго говоря, дви­жение (точнее — поведение) электронов в атоме подчиняется законам квантовой физики.

 

 

Классическая теория дисперсии

 

Однако для качественного понима­ния дисперсии света достаточно ограничиться классическими представлениями, которые, как это ни удивительно, приводят к тем же результатам, что и квантовая теория.

Для этого запишем уравнение движения электронного обла­ка как

(6)

где m — масса электронного облака, а справа записаны проек­ции на ось X квазиупругой силы, силы «сопротивления», обу­словленной чем-то вроде «трения» облака о ядро, и вынуждаю­щей силы со стороны гармонической электромагнитной волны частоты . Магнитной составляющей этой силы мы пренебрега­ем, поскольку в нерелятивистском случае она ничтожно мала. Разделив уравнение (6) на m, приведем его к виду

. (7)

 

 

где = k/m, 2 = r/m, f_m = qE_m / m.

Для теории дисперсии имеет значение не общее, а только ча­стное (установившееся) решение уравнения (7):

(8)

 

где а — амплитуда колебаний, φ — разность фаз между смеще­нием х и «силой» f_m cos . Подстановка этого решения в урав­нение (7) позволяет с помощью векторной диаграммы найти значения амплитуды а и разности фаз φ, а именно

(9)

 

Ограничимся простейшим случаем, когда 2β «( - ), т. е. когда вынуждающая частота (поля) не очень близка к собствен­ной частоте колебаний электронного облака и коэффициент β, характеризующий затухание, достаточно мал. В этом случае, если < , то

 

 

(10)

Такой же результат будет и при > , когда β =π.

Остается подставить (10) в (5) и учесть, что вынуждаю­щая сила в (6) .. В результате получим:

(11)

 

 

Где b=n₀q²/ε₀m=N₀ e²/ ε₀m₀, N_o -концентрация элек-тронов(здесь учтено, что q=Ze,m=Zm₀,N=Zn₀ и Z — число электронов в атоме).

Разрыв функции ε () при = и обращение ее в ±∞ не имеют физиче­ского смысла, это получилось вследст­вие игнорирования затухания (β → 0). Если же его учесть, то ход кривой бу­дет иным (рис. 5)

 

Рис.5

и достаточно хоро­шо подтверждается экспериментально (сравните с рис. 4). Зависимость характеризует полосу поглощения. Как раз с ней совпадает об­ласть аномальной дисперсии (dn/d < 0).

Заметим, что собственных частот может быть несколько в атоме, соответственно будет и несколько областей аномальной дисперсии. Кроме того, как видно из рис. 5, при > пока­затель преломления (п = ε) будет меньше единицы, а это зна­чит, что фазовая скорость электромагнитной волны v = с/п ока­зывается больше с! Подобное имеет место в плазме, где ₀ = 0 (электроны свободные), и для рентгеновского излучения ( >> ). Никакого противоречия с теорией относительности здесь нет. Последняя утверждает, что скорость сигнала (импульса) не мо­жет превышать с. Понятие же показателя преломления приме­нимо к монохроматическим электромаг-нитным волнам, беско­нечным в пространстве и во времени. Такие волны не могут слу­жить для передачи сигнала, а кроме того, их в принципе невозможно осуществить.

Из выражения (11) вытекает и еще одно неожиданное следствие для случая, когда ₀ = 0 (например, в той же плаз­ме). При этом условии, когда частота электромагнитной волны , оказывается, что диэлектрическая проницаемость ε() 0, а следовательно, показатель преломления для таких ча­стот (n = ε) становится мнимым, и его можно представить как п =i . Выясним, что это означает.

Запишем уравнение электромагнитной волны в комплекс­ной форме:

 

где λ, — длина волны в среде. Если длина волны в вакууме λ_о, то λ =λ₀/п, и

 

 

где . Подставив это выражение для k в исходное уравнение волны , получим:

 

 

или для действительной части

 

 

Видно, что в рассматриваемом случае мы имеем стоячую волну, амплитуда которой экспоненциально затухает*. Факти­чески это означает, что излучение при ε < 0 не может пройти через плазму и происходит полное отражение его в погранич­ном слое. На этом, кстати, основан метод определения концент­рации электронов в плазме.

Пример.

При зондировании разреженной плазмы радиоволнами раз­личных частот обнаружили, что радиоволны с частотами, ме­ньшими, чем = 400МГц не проходят через плазму. Найдем концентрацию свободных электронов в этой плазме. Радиоволны не проходят через плазму, а отражаются от нее, как мы выяснили, при мнимом показателе преломления, т. е. при значении диэлектрической проницаемости ε() 0. Имея в виду (11) и учитывая, что для свободных электронов ₀ = 0, получим:

 

В общем случае вводят комплексный показатель преломления ,где п определяет фазовую скорость волны v=c/n, а мнимую часть и называют показателем затухания. Он характеризует затухание волны по мере ее распро­странения. Затухание не обязательно связано с поглощением электромагнит­ной волны, примером тому служит разобранный пример.Отсюда находим искомую концентрацию свободных электронов:

N₀=ε₀m_e / e²=4 ε₀ = 2,0۰10⁹см^-3.