Пусть на интервале задана дифференцируемая функция
. Геометрически это означает, что в каждой точке
график функции имеет касательную. Наклон касательной зависит от знака производной в точке касания. Если производная больше нуля, то угол наклона касательной острый (рис.1а) и наоборот, если производная меньше нуля, то угол наклона касательной тупой (рис.1б).
рис.1а. рис.1б.
Теорема 2. Пусть функция определена и непрерывна на
, дифференцируема
на и если:
1)
2)
Доказательство. Докажем 1). Как всегда берём любую пару из
. Нужно доказать, что
. На сегменте
выполнены все условия теоремы Лагранжа (проверьте!). Запишем формулу Лагранжа для этого случая
(1)
Так как
.
Теорема доказана. Доказательство пункта 2) предоставляем читателю.
Приведём алгоритм определения экстремальных точек (используются только первые производные).
Правило 1 отыскания локальных экстремумов дифференцируемой функции :
1. Найти стационарные точки, в которых .
2. Из найденных точек оставляем те, при переходе через которые
меняет знак.
3. Локальный максимум достигается в точках , при переходе через которые
меняет знак с положительного на отрицательный.
4. Локальный минимум достигается в точках , при переходе через которые
меняет знак с отрицательного на положительный.
5. Замечание. Экстремума нет в тех точках, при переходе через которые не меняет знак.
Определение 4. Функция, дифференцируемая на интервале
, выпукла вверх, если её производная на этом интервале убывает.
Определение 4. Функция, дифференцируемая на интервале , выпукла вниз, если её производная на этом интервале
возрастает.
Теорема 3. Пусть функция дважды дифференцируема на интервале
тогда, если
Доказательство. Докажем пункт 1) теоремы. По условию, следовательно
убывает. Из определения 3 следует, что функция выпукла вверх.
Докажем пункт 2) теоремы. По условию, следовательно
возрастает. Из определения 4 следует, что функция выпукла вниз.
Замечание. Как известно, из двух точек с одинаковыми абсциссами и
выше
лежит точка, у которой ордината больше и наоборот ниже лежит точка, у которой
ордината меньше.
Теорема 4. Точки графика выпуклой вверх дифференцируемой функции лежат нижелюбой касательной проведённой к графику.
Доказательство. Пусть уравнение касательной прямой, проведённой к графику функции
в точке касания
. Докажем, что любая точка касательной лежит выше точки графика функции
(см. замечание выше), то есть
для
. Примем для определённости, что точка
.Рассмотрим разность
Применяя теорему Лагранжа о среднем к разности , получаем
. Отсюда
,
.
По условию у нас производная функции
убывает. Следовательно, разность
положительна. Отсюда следует, что
и поэтому точка
лежит выше точки . Теорема доказана. Аналогично рассматривается случай, когда
точка .
Теорема 5. Точки графика выпуклой вниз функции лежат вышелюбой касательной проведённой к графику.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 4.
Точки, при переходе через которые, график функции меняет выпуклость на противоположную
называются точками перегиба графика функции.
Определение 6. Точка , лежащая на графике функции
, будет точкой перегиба графика функции, если
1) график функции имеет в точке
касательную прямую;
2) слева и справа от точки выпуклости графика противоположно направлены.