Полярные координаты на плоскости.
ЗАДАНИЕ N 1 сообщить об ошибке
Тема: Полярные координаты на плоскости
Точка 
задана в прямоугольной системе координат. Тогда ее полярные координаты равны …
|
|  
| ||
| |||
| |||
|
ЗАДАНИЕ N 15 сообщить об ошибке
Тема: Полярные координаты на плоскости
В полярной системе координат дана точка 
Тогда расстояние от нее до полярной оси равно …
|
| |||
Решение:
Расстояние от точки M до полярной оси определяется длиной перпендикуляра, опущенного из нее на ось. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOM, где O – полюс, A – основание перпендикуляра. Тогда длина перпендикуляра MA будет равна: 
ЗАДАНИЕ N 16 сообщить об ошибке
Тема: Полярные координаты на плоскости
В полярной системе координат даны точки 
и 
Тогда расстояние между ними равно …
|
| |||
Решение:
Рассмотрим треугольник AOB, где O – полюс. По теореме косинусов получим: 
где 
Тогда 
ЗАДАНИЕ N 30 сообщить об ошибке
Тема: Полярные координаты на плоскости
В полярной системе координат заданы две точки 
и 
Тогда расстояние между ними равно …
|
| |||
| |||
| |||
Решение:
Точки и 
лежат на одной прямой и отстоят от полюса на расстояния 2 и 7 соответственно. Следовательно, длина образованного ими отрезка 
ЗАДАНИЕ N 20 сообщить об ошибке
Тема: Полярные координаты на плоскости
В полярной системе координат даны две смежные вершины квадрата 
и 
Тогда длина диагонали квадрата равна …
|
| |||
Решение:
Диагональ квадрата можно вычислить по формуле 
Так как треугольник AOB – прямоугольный 
где O – полюс, то 
Тогда 
ЗАДАНИЕ N 28 сообщить об ошибке
Тема: Полярные координаты на плоскости
В полярной системе координат даны две точки 
и 
Тогда полярные координаты середины отрезка AB равны …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке
Тема: Полярные координаты на плоскости
Полярные координаты точки, симметричной точке 
относительно полярной оси, равны …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Полярные координаты 
точки, симметричной точке 
относительно полярной оси, отличаются полярным углом и запишутся в виде 
или 
ЗАДАНИЕ N 7 сообщить об ошибке
Тема: Полярные координаты на плоскости
Уравнение окружности с центром в начале координат радиуса 5 в полярных координатах имеет вид …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Уравнение окружности с центром в начале координат радиуса a в прямоугольных декартовых координатах имеет вид 
Подставим вместо x и y их значения по формулам перехода от декартовых координат к полярным: 
. Получим: 
или 
ЗАДАНИЕ N 24 сообщить об ошибке
Тема: Полярные координаты на плоскости
Одна из вершин треугольника находится в полюсе O, две другие имеют координаты 
и 
Тогда площадь треугольника AOB равна …
|
| 
| ||
| |||
Решение:
Площадь треугольника можно вычислить по формуле 
где 
– угол между сторонами OA и OB. Тогда 
Прямая на плоскости.
ЗАДАНИЕ N 6 сообщить об ошибке
Тема: Прямая на плоскости
Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки 
и 
равен …
|
| |||
| |||
| – 19 | |||
|
Решение:
Прямая, проходящая через две данные точки 
и 
задается уравнением вида: 
Тогда 
или 
Угловой коэффициент данной прямой равен 
ЗАДАНИЕ N 8 сообщить об ошибке
Тема: Прямая на плоскости
В треугольнике с вершинами 
уравнение высоты, проведенной из вершины C, имеет вид …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку 
перпендикулярно нормальному вектору 
В качестве нормального вектора возьмем вектор 
а в качестве заданной точки возьмем точку 
Тогда 
или 
ЗАДАНИЕ N 15 сообщить об ошибке
Тема: Прямая на плоскости
Прямые 
и 
пересекаются в точке, лежащей на оси абсцисс. Тогда эта точка имеет координаты …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Точка, лежащая на оси абсцисс, имеет координаты 
Подставим координаты этой точки в уравнения прямых: 
. Тогда 
ЗАДАНИЕ N 29 сообщить об ошибке
Тема: Прямая на плоскости
Уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 
и 
перпендикулярно прямой 
имеет вид …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Уравнение прямой, перпендикулярной прямой можно определить как 
, где для определения 
найдем точку пересечения прямых и :
Подставим в уравнение прямой координаты точки 
: 
, отсюда 
Тогда уравнение искомой прямой примет вид .
ЗАДАНИЕ N 21 сообщить об ошибке
Тема: Прямая на плоскости
Прямая проходит через точку 
перпендикулярно прямой 
Тогда общее уравнение этой прямой имеет вид …
|
|
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Перепишем уравнение прямой 
в виде 
Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением 
Тогда угловой коэффициент искомой прямой равен 
а уравнение прямой будет иметь вид 
Параметр b найдем из условия 
Тогда 
или 
ЗАДАНИЕ N 29 сообщить об ошибке
Тема: Прямая на плоскости
Длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, заданную уравнением 
равна …
|
| |||
Решение:
Применим формулу 
для вычисления расстояния d от точки 
до прямой 
Тогда 
ЗАДАНИЕ N 4 сообщить об ошибке
Тема: Прямая на плоскости
Расстояние между прямыми 
и 
равно …
|
| 2,5 | ||
| 0,25 | |||
| 1,5 |
Решение:
Расстояние между двумя прямыми найдем как расстояние между прямой и точкой прямой например, 
Применим формулу для вычисления расстояния d от точки до прямой 
Тогда 
ЗАДАНИЕ N 23 сообщить об ошибке
Тема: Прямая на плоскости
Площадь треугольника, образованного пересечением прямой 
с осями координат, равна …
|
| |||
Решение:
Приведем уравнение прямой l к уравнению прямой «в отрезках»: 
или 
Уравнение прямой «в отрезках», отсекающей на координатных осях Ox и Oy отрезки длиной a и b соответственно, имеет вид: 
Следовательно, треугольник, образованный прямой l и осями координат – прямоугольный, с вершинами 
и гипотенузой AB. Площадь треугольника AOB будет равна: 
ЗАДАНИЕ N 17 сообщить об ошибке
Тема: Прямая на плоскости
Прямая задана в параметрическом виде 
Тогда ее общее уравнение имеет вид …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Общее уравнение прямой на плоскости записывается в виде Выразив из системы уравнений 
параметр t как 
и 
получаем: 
или 
Кривые второго порядка.
ЗАДАНИЕ N 7 сообщить об ошибке
Тема: Кривые второго порядка
Радиус окружности 
равен …
|
| |||
| |||
|
|
Решение:
Окружность радиуса R с центром в точке 
задается на плоскости уравнением вида 
Выделим в уравнении 
полные квадраты:
или 
Тогда радиус окружности равен 2.
ЗАДАНИЕ N 27 сообщить об ошибке
Тема: Кривые второго порядка
Точки 
и 
являются концами одного из диаметров окружности. Тогда уравнение окружности имеет вид …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Окружность радиуса R с центром в точке 
задается на плоскости уравнением Центр окружности имеет координаты середины отрезка AB: 
Радиус окружности равен 
Тогда уравнение окружности примет вид 
ЗАДАНИЕ N 6 сообщить об ошибке
Тема: Кривые второго порядка
Уравнением кривой второго порядка 
на плоскости определяется …
|
| эллипс | ||
| гипербола | |||
| парабола | |||
| пара пересекающихся прямых |
Решение:
Выделим в уравнении 
полный квадрат по переменной x: 
или 
Разделив обе части этого уравнения на 10, получим уравнение вида: 
которое на плоскости определяет эллипс.
ЗАДАНИЕ N 19 сообщить об ошибке
Тема: Кривые второго порядка
Эллипсы 
и 
пересекаются в точках с абсциссой, равной …
|
| |||
Решение:
Координаты точек пересечения эллипсов найдем из решения системы 
. Умножив первое уравнение на 36, второе – на 45, получим 
. Вычтем из первого уравнения второе: 
Отсюда 
ЗАДАНИЕ N 25 сообщить об ошибке
Тема: Кривые второго порядка
Расстояние между фокусами гиперболы 
равно …
|
| |||
| 2,5 |
Решение:
Фокусы гиперболы, заданной каноническим уравнением 
имеют координаты 
и 
где 
Тогда 
То есть расстояние между двумя точками 
и 
равно 10.
ЗАДАНИЕ N 16 сообщить об ошибке
Тема: Кривые второго порядка
Вершина параболы 
имеет координаты …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Выделим в уравнении полный квадрат: 
или 
Тогда вершина параболы имеет координаты 
ЗАДАНИЕ N 30 сообщить об ошибке
Тема: Кривые второго порядка
Уравнение директрисы параболы, проходящей через точки 
и симметричной относительно оси Ox, имеет вид …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной относительно оси Ox имеет вид: 
а уравнение директрисы: 
Параметр p находится из условия, что точка принадлежит параболе, то есть 
Тогда уравнение директрисы параболы примет вид: 
ЗАДАНИЕ N 25 сообщить об ошибке
Тема: Кривые второго порядка
Соотношение 
в прямоугольной декартовой системе координат задает …
|
| параболу | ||
| гиперболу | |||
| эллипс | |||
| окружность |
Решение:
Вычислим 
то есть 
Тогда в прямоугольной декартовой системе координат данное уравнение задает параболу с вершиной в точке 
Плоскость в пространстве.
ЗАДАНИЕ N 6 сообщить об ошибке
Тема: Плоскость в пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через точки 
и 
параллельно вектору 
имеет вид …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Рассмотрим некоторую точку 
принадлежащую искомой плоскости. Необходимо, чтобы вектора 
и 
были компланарны. То есть уравнение плоскости, проходящей через точки 
и 
параллельно вектору 
, может быть представлено в следующем виде: 
Тогда 
или 
Следовательно, уравнение плоскости примет вид:
ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке
Тема: Плоскость в пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через точку 
параллельно векторам 
и 
имеет вид …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Уравнение плоскости, проходящей через точку 
с нормальным вектором 
имеет вид: 
В качестве нормального вектора плоскости возьмем векторное произведение векторов и 
Тогда 
или 
Подставляя в уравнение плоскости координаты точки и вектора 
получим: 
или 
ЗАДАНИЕ N 18 сообщить об ошибке
Тема: Плоскость в пространстве
Плоскости 
и 
перпендикулярны при значении m, равном …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Плоскости, заданные общими уравнениями 
и 
перпендикулярны при условии, что 
Тогда 
то есть 
ЗАДАНИЕ N 22 сообщить об ошибке
Тема: Плоскость в пространстве
Общее уравнение плоскости, проходящей через точку 
параллельно плоскости 
имеет вид …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Уравнение плоскости, параллельной плоскости 
имеет вид: 
Подставим координаты точки в это уравнение: 
Тогда 
ЗАДАНИЕ N 28 сообщить об ошибке
Тема: Плоскость в пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно плоскостям 
и 
имеет вид …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором имеет вид: В качестве нормального вектора плоскости возьмем векторное произведение нормальных векторов плоскостей 
и 
Тогда 
или 
Подставляя в уравнение плоскости координаты точки 
и вектора 
получим: 
или 
ЗАДАНИЕ N 18 сообщить об ошибке
Тема: Плоскость в пространстве
Общее уравнение плоскости, проходящей через точку 
и отсекающей равные отрезки на координатных осях, имеет вид …
|
| 
| |||||
Поиск по сайту©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование. Дата создания страницы: 2017-12-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных |
Поиск по сайту: Читайте также: Деталирование сборочного чертежа Когда производственнику особенно важно наличие гибких производственных мощностей? Собственные движения и пространственные скорости звезд |