Замена переменной в определенном интеграле

Пример 5

Вычислить определенный интеграл

Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену.

Смотрим по таблице интегралов на что больше всего похожа подынтегральная функция?

Но в табличном интеграле под корнем , а в нашем – «икс» в четвёртой степени.

Сначала готовим наш интеграл к замене:

Из вышеуказанных соображений замена:
Таким образом, в знаменателе будет всё хорошо: .
Выясняем, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал :

Дополнительный этап. Находим новые переделы интегрирования.

Смотрим на нашу замену и старые пределы интегрирования , .

Сначала подставляем в выражение замены нижний предел интегрирования, то есть, ноль:

Потом подставляем в выражение замены верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх:

Готово. Продолжаем решение.

(1) В соответствии с заменой записываем новый интеграл с новыми пределами интегрирования.

(2) Это простейший табличный интеграл, интегрируем по таблице. Константу лучше оставить за скобками (можно этого и не делать), чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях. Справа отчеркиваем линию с указанием новых пределов интегрирования – это подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница .

Ответ стремимся записать в максимально компактном виде.

Ещё одно отличие от неопределенного интеграла состоит в том, что, после того, как мы провели замену, никаких обратных замен проводить не надо.

Пример 6

Вычислить определенный интеграл

Решение:

Замена:
Новые пределы интегрирования:

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Формулу Ньютона-Лейбница здесь необходимо применить дважды: для произведения и, после того, как мы возьмем интеграл .

Пример 7

Вычислить определенный интеграл

Решение:

Интегрируем по частям:

Вычисление площадей плоских фигур

Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа.

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная графиком некоторой функции , осью и прямыми , :

Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу.

С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ. То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры.

Пример 8

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .