Контрольная работа №1
Вариант №8
Выполнил: студент 313 группы
Кильдюшкин Д.И.
Проверил: Тутаев Г.М.
Саранск 2005 г.
1. Скорректировать ЛАЧХ системы.
Критерий устойчивости Найквиста
Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ по виду АФЧХ разомкнутой САУ (рис. 3.9). Исследование же разомкнутой САУ проще, чем замкнутой.
Замкнутая САУ
Разомкнутая САУ
Рис.1
Передаточная функция замкнутой САУ:
W3(p)=W(p)/1+W(p)
где W(p)=W1W2=R(p)/Q(p) - передаточная функция разомкнутой САУ.
Тогда для замкнутой САУ справедливо соотношение
W3(p)=Q(p)/Q(p)+R(p)
Рассмотрим некую вспомогательную функцию S(p):
S(p) = l + W(p) =Q(p)+R(p)/Q(p)
Здесь Q(p) - характеристический полином разомкнутой САУ, a Q(p)+R(p) ~ характеристический полином замкнутой САУ. Будем считать, что на вход системы, описываемой вспомогательной функцией S(p), подается синусоидальный сигнал. Тогда =jw и имеем
S(jw)=1+W(jw)=|1+W(jw)|ejArgS(jw) = |Q(jw)+R(jw)| e jy1(jw) / |Q(jw)|ejy2(jw) =
= (|Q(jw)+R(jw)| / Q(jw)) ejArgS(jw)
To есть аргумент вспомогательной функции S (jw) равен:
ArgS(jw) =y1(jw) –y2(jw)
Причем для устойчивой замкнутой системы на основании принципа аргумента (число правых корней m=0) при изменении частоты w от 0 до ∞ должно выполняться условие
Будем считать, что система в разомкнутом состоянии неустойчива и имеет т корней в правой комплексной полуплоскости. Тогда справедливо соотношение
Следовательно, изменение аргумента вспомогательной функции S(jw)
т. е. для устойчивой замкнутой системы вектор S(jw) должен повернуться вокруг точки с координатами (0; j0) m/2 раз при изменении частоты w от 0 до ∞.
Следует учесть, что АФЧХ разомкнутой системы W(jw) должна быть сдвинута относительно АФЧХ вспомогательной функции S(jw) на 1 по действительной оси.
При определении устойчивости замкнутой системы по критерию Найквиста возможны два случая.
1. В разомкнутом состоянии исследуемая система устойчива, т. е. не имеет правых корней (т=0). Для этого случая критерий Найквиста формулируется следующим образом: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы W(jw) (АФЧХ) при изменении частоты w от 0 до со не охватывал точку с координатами (—1; j0) при перемещении его в отрицательном направлении (по часовой стрелке).
На рис. 3.10,а и 3.10,6 приведены АФЧХ устойчивых разомкнутых САУ, которые будут устойчивы и в замкнутом состоянии.
2. В разомкнутом состоянии исследуемая система неустойчива, т. е. имеет т правых корней. Для этого случая критерий Найквиста формулируется так: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутой неустойчивой системы W(jw) (АФЧХ) при изменении частоты w от 0 до ∞ охватывал в положительном направлении (против часовой стрелки) т/2 раз точку с координатами (-l;j0).
На рис. 3.10,в приведен годограф разомкнутой неустойчивой САУ, имеющей два правых корня. В замкнутом же состоянии, т. е. при введении ООС, согласно критерию Найквиста, подобная система будет устойчива.
|
Рис. 3.10
Для системы, годограф которой представлен на рис. 3.10,г, условия критерия Найквиста не соблюдаются, так как годограф вращается по часовой стрелке.
Справедлива обобщенная формулировка критерия устойчивости Найквиста: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы разность между числами положительных (против часовой стрелки) и отрицательных (по часовой стрелке) переходов частотного годографа комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы W(jw) через отрицательную действительную полуось па участке от -1 до -∞ была равна т/2, где т - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
К достоинствам критерия Найквиста следует отнести его наглядность. Он позволяет не только выявить устойчивость САУ высоких порядков, но и определить запасы устойчивости системы по модулю и фазе.
3.Найти передаточную функцию САУ:
W’= W2 / 1+W2
W’’=W3+W4
W’’’=W1 / 1+W1W’’
W*= W’’’ + W’’
Построить АФЧХ системы по передаточной функции.
Для построения АФЧХ системы в этой функции р заменим на jw, получим:
переведем эту формулу в следующий вид: 
умножим формулу на комплексно-сопряженный знаменатель:
Здесь 
, 
