Характеристики теплового движения молекул. Явления переноса Первое начало термодинамики. Адиабатический процесс

Основы МКТ идеального газа. Уравнение состояния. Изопроцессы. Закон Дальтона. Распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла). Скорости теплового движения молекул. Барометрическая формула

Основные формулы

Количество вещества ,

где

N – число молекул,

N_A – постоянная Авогадро,

m – масса вещества,

M – молярная масса.

Уравнение Менделеева- Клайперона ,

где

р – давление газа,

V – его объем,

R – молярная газовая постоянная,

T – термодинамическая температура.

Уравнение молекулярно – кинетической теории газов

где

n ₀– концентрация молекул,

< E _пост> – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул,

m ₀ – масса молекулы,

< υ _кв> – средняя квадратичная скорость.

При своем движении молекулы идеального газа, сталкиваясь друг с другом, беспорядочно меняют как величину, так и направление своей скорости. Тем не менее, для характеристики состояния движения всей совокупности огромного числа молекул, пользуются понятиями:

1) наиболее вероятной скорости u _в; 2) средней арифметической скорости u _ср; 3) средней квадратичной скорости u _кв.

· Наиболее вероятная скорость

· Средняя арифметическая скорость

· Средняя квадратичная скорость

где R – универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура газа, M – масса одного моля газа, – постоянная Больцмана, – масса одной молекулы газа.

· Средняя длина свободного пробега молекул газа

где u _ср – средняя арифметическая скорость молекул, – среднее число столкновений молекулы с остальными в единицу времени, d – эффективный диаметр молекулы, n – число молекул в единице объема.

· Уравнение Менделеева-Клапейрона

где – молярная газовая постоянная, P – давление, V – объем равный объему сосуда, m – масса газа, М – молекулярная масса смеси, T – температура газа.

· Закон Максвелла распределения молекул по скоростям:

, (2.6)

где – число молекул, относительные скорости которых находятся в интервале от до , N – общее число молекул, – относительная скорость, отношение скорости молекулы u к наиболее вероятной скорости u _В.

Задачи

1.1. В закрытом сосуде вместимостью 20 л находятся водород массой 6 г и гелий массой 12 г. Определить давление и молярную массу газовой смеси в сосуде, если температура смеси Т = 300 К.

1.2. Определить молярную массу и плотность смеси газов водорода массой m₁ = 8 г и кислорода массой m₂ = 64 г при температуре Т = 290 К и при давлении 0,1 МПа. Газы считать идеальными.

1.3. Баллон вместимостью V = 20 л содержит смесь водорода и азота при температуре 290 К и давлении 1 МПа. Определить массы водорода и азота, если масса смеси равна 150 г.

1.4. Два сосуда одинакового объема содержат кислород. В одном сосуде давление р₁ = 3 МПа и температура Т₁ = 700 К, в другом р₂ = 1,5 МПа, Т₂ = 200 К. Сосуды соединили трубкой и охладили находящийся в них кислород до температуры Т = 180 К. Определить установившееся в сосудах давление р.

1.5. Баллон содержит 80 г кислорода и 320 г аргона. При температуре Т = 300 К давление смеси равняется 1 МПа. Считая газы идеальными, определить объем баллона и молярную массу смеси газов.

1.6. В баллоне емкостью V = 15 л находится смесь, содержащая 10 г водорода, 54 г водяного пара и 60 г окиси углерода. Определить молярную массу и давление смеси при температуре t = 27°С.

1.7. Какое количество кислорода выпустили из баллона объемом V = 10 л, если при этом показания манометра на баллоне изменились от Р₁ = 16×10⁵ Па до Р₂ = 7×10⁵ Па, а температура понизилась от t₁ = 27°С до t₂ = 7°С?

1.8. Азот массой m = 5 г, находящийся в закрытом сосуде объемом V = 4 л при температуре t₁ = 20°С, нагревается до температуры t₂ = 40°С. Найти давление газа до и после нагревания.

1.9. В баллоне объемом V = 22,4 л находится водород при нормальных условиях. После того, как в баллон ввели некоторое количество гелия, давление в баллоне возросло до р = 0,25 МПа. Определить массу гелия, введенного в баллон, если температура газа при этом не изменилась.

1.10. В двух сосудах одинакового объема содержится кислород. В одном сосуде газ находится при давлении p₁ = 2 МПа и температуре Т₁ = 800 К, а в другом при давлении p₂ = 2,5 МПа и температуре Т₂ = 200 К. Сосуды соединили между собой трубкой и охладили находящийся в них кислород до температуры Т = 200 К. Определить установившееся в сосудах давление.

1.11. Температура окиси азота (NO) равна 300 К. Определить долю молекул, скорости которых лежат в интервале от v₁ = 820 м/с до v₂= 830 м/с.

1.12. На какой высоте давление воздуха составляет 60 % от давления на уровне моря? Считать, что температура воздуха везде одинакова и равна 10 °С.

1.13. Кислород нагревают от температуры Т₁ = 240 К до температуры Т₂ = 480 К. Определить, во сколько раз изменяется при этом доля молекул, скорости которых находятся в интервале от v₁ = 180 м/с до v₂ = 200 м/с.

1.14. Каково давление воздуха в шахте на глубине 1 км, если считать, что температура по всей высоте постоянная и равна 22 °С, а ускорение свободного падения не зависит от высоты. Давление воздуха у поверхности Земли принять равным давлению при н.у.

1.15. Какая часть молекул азота, находящегося при температуре Т = 400 К, имеет скорости, лежащие в интервале от v_в до v_в + D v, где v_в - наиболее вероятная скорость, D v = 20 м/с?

1.16. Определить отношение давления воздуха на высоте 1 км к давлению на дне скважины глубиной 1 км. Воздух у поверхности Земли находится при нормальных условиях, и его температура не зависит от высоты.

1.17. Какая часть молекул водорода при температуре t = 0°С обладает скоростями от v₁ = 2000 м/с до v₂ = 2100 м/с?

1.18. На какой высоте плотность воздуха в е раз (е — основание натуральных логарифмов) меньше по сравнению с его плотностью на уровне моря? Температуру воздуха и ускорение свободного падения считать не зависящими от высоты.

1.19. Найти относительное число молекул газа, скорости которых отличаются не более чем на 1% от значения наиболее вероятной скорости.

1.20. На какой высоте давление воздуха в 2 раза меньше по сравнению с его давлением на уровне моря? Температуру воздуха и ускорение свободного падения считать не зависящими от высоты.

Характеристики теплового движения молекул. Явления переноса Первое начало термодинамики. Адиабатический процесс

Основные формулы

Средняя длина свободного пробега молекулы

где d – эффективный диаметр молекулы.

Среднее число столкновений молекулы в единицу времени

Уравнение диффузии

где

D – коэффициент диффузии,

Ρ – плотность,

dS – элементарная площадка, перпендикулярная к оси Х.

Уравнение теплопроводности

где χ – коэффициент теплопроводности.

Сила внутреннего трения ,

гдеη – динамическая вязкость.

Коэффициент диффузии .

Вязкость (динамическая) .

Теплопроводность ,

где с_V - удельная изохорная теплоемкость.

Молярная теплоемкость идеального газа:

Изохорная ,

Изобарная .

Первое начало термодинамики

Работа расширения газа при процессе:

Изобарном ,

Изотермическом ,

Адиабатном

, где .

Уравнение Пуассона (уравнение адиабатного процесса)

, , .

Задачи

2.1. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода равна 2,5 см, если температура газа равна 67 °С? Диаметр молекулы водорода принять равным 0,28 нм.

2.2. Определить среднюю продолжительность <τ> свободного пробега молекул водорода при температуре 27 °С и давлении 5 кПа. Диаметр молекулы водорода принять равным 0,28 нм.

2.3. Определить коэффициент теплопроводности λ азота, находящегося в некотором объеме при температуре 280 К. Эффективный диаметр молекул азота принять равным 0,38 нм.

2.4. При температуре 300 К и некотором давлении средняя длина свободного пробега < l > молекул кислорода равна 0,1 мкм. Чему будет равно среднее число < z > столкновений, испытываемых молекулами в 1 с, если сосуд откачать до 0,1 первоначального давления? Температуру газа считать постоянной.

2.5. Кислород находится при нормальных условиях. Определить коэффициент теплопроводности λ кислорода, если эффективный диаметр его молекул равен 0,36 нм.

2.6. Пространство между двумя параллельными пластинами площадью 150 см² каждая, находящимися на расстоянии 5 мм друг от друга, заполнено кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре 17 °С, другая – при температуре 27 °С. Определить количество теплоты, прошедшее за 5 мин посредством теплопроводности от одной пластины к другой. Кислород находится при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода считать равным 0,36 нм.

2.7. Определить коэффициент диффузии D кислорода при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода принять равным 0,36 нм.

2.8. Определить массу азота прошедшего вследствие диффузии через площадку 50 см² за 20 с, если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен 1 кг/м⁴. Температура азота 290 К, а средняя длина свободного пробега его молекул равна 1 мкм. Эффективный диаметр молекул азота принять равным 0,38 нм.

2.9. Определить коэффициент теплопроводности λ азота, если коэффициент динамической вязкости η для него при тех же условиях равен 10 мкПа^.с. Эффективный диаметр молекул азота принять равным 0,38 нм.

2.10. Кислород находится под давлением р = 133 нПа при температуре Т = 200 К. Вычислить среднее число столкновений в единицу времени молекул кислорода при этих условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода считать равным 0,36 нм.

2.11. Кислород массой 32 г находится в закрытом сосуде под давлением 0,1 МПа при температуре 290 К. После нагревания давление в сосуде повысилось в 4 раза. Определить: 1) объем сосуда; 2) температуру, до которой газ нагрели; 3) количество теплоты, сообщенное газу.

2.12. Двухатомный идеальный газ (ν = 2 моль) нагревают при постоянном объеме до температуры T ₁ = 289 К. Определить количество теплоты, которое необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его давление в n = 3 раза.

2.13. При изобарном нагревании некоторого идеального газа (ν = 2 моль) на Δ T = 90 К ему было сообщено количество теплоты 2,1 кДж. Определить: 1) работу, совершаемую газом; 2) изменение внутренней энергии газа; 3) величину γ = C_p / C_V.

2.14. Кислород объемом 1 л находится под давлением 1 МПа. Определить, какое количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы: 1) увеличить его объем вдвое в результате изобарного процесса; 2) увеличить его давление вдвое в результате изохорного процесса.

2.15. Азот массой m = 50 г находится при температуре T ₁= 280 К. В результате изохорного охлаждения его давление уменьшилось в n = 2 раза, а затем в результате изобарного расширения температура газа в конечном состоянии стала равной первоначальной. Определить: 1) работу, совершенную газом; 2) изменение внутренней энергии газа.

2.16. Азот массой m = 1 кг занимает при температуре T₁ = 300 К объем V₁ = 0,5 м³. В результате адиабатического сжатия давление газа увеличилось в 3 раза. Определить: 1) конечный объем газа; 2) его конечную температуру; 3) изменение внутренней энергии газа.

2.17. Азот, занимающий при давлении Р = 10⁵ Па объем V = 10 л, расширяется вдвое. Найти работу, совершаемую газом, и количество теплоты, переданное газу, при следующих процессах: 1) изобарическом, 2) изотермическом, 3) адиабатическом.

2.18. Кислород массой m = 200 г занимает объем V₁ = 100 л и находится под давлением Р₁ = 200 кПа. При нагревании газ расширяется при постоянном давлении до объема V₂ = 300 л, а затем его давление возрастает до Р₂ = 500 кПа при неизменном объеме. Найти изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу и количество теплоты, переданное газу.

2.19. Кислород массой m = 200 г занимает объем V₁ = 100 л и находится под давлением р₁ = 200 кПа. При нагревании газ расширился при постоянном давлении до объема V₂ = 300 л, а затем его давление возросло до р₃ = 500 кПа при неизменном объеме. Найти изменение внутренней энергии DU газа, совершенную им работу А и количество теплоты Q, переданное газу.

2.20 Водород массой m = 400 г, имевший температуру Т = 300 К, адиабатически расширился, увеличив свой объем в 3 раза. Затем при изотермическом сжатии объем газа уменьшился в 2 раза. Определить полную работу А, совершенную газом, и конечную температуру Т газа.

3. Циклические процессы. КПД цикла. Цикл Карно

Основные формулы

Коэффициент полезного действия цикла Карно

где Q и T – количество теплоты, полученное от нагревателя, и его температура, Q ₀ и T ₀ – количество теплоты, переданное холодильнику, и его температура.

Задачи

3.1. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя Т ₁ = 500 К, холодильника Т ₂ = 300 К. Работа изотермического расширения газа составляет 2 кДж. Определить: 1) термический к.п.д. цикла; 2) количество теплоты, отданное газом при изотермическом сжатии холодильнику.

3.2. Определить работу А₂ изотермического сжатия газа, совершающего цикл Карно, к.п.д. которого h = 0,4, если работа А₁ изотермического расширения равна 8 Дж.

3.3. Газ, совершающий цикл Карно, отдал холодильнику 67% теплоты, полученной от нагревателя. Определить температуру Т₂ холодильника, если температура нагревателя Т₁ = 430 К.

3.4. Во сколько раз увеличится коэффициент полезного действия h цикла Карно при повышении температуры нагревателя от Т₁ = 380 К до Т₁ = 560 К? Температура холодильника Т₂ = 280 К.

3.5. Газ, совершающий цикл Карно, получает количество теплоты Q₁ = 84 кДж. Какую работу А совершает газ, если температура Т₁ нагревателя в три раза выше температуры Т₂ холодильника?

3.6. Тепловая машина работает по циклу Карно. Температура нагревателя Т₁ = 500 К. Определить к.п.д. цикла и температуру Т₂ холодильника, если за счет количества теплоты Q₁ = 1 кДж, полученной от нагревателя, машина совершает работу А = 350 Дж.

3.7. Газ, совершающий цикл Карно, отдал холодильнику 76% теплоты, полученной от нагревателя. Определить температуру холодильника Т₂, если температура нагревателя Т₁ = 400 К.

3.8. Определить работу А₂ изотермического сжатия газа, совершающего цикл Карно, к.п.д. которого h = 0,4, если работа изотермического расширения А₁ = 18 Дж.

3.9. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Температура нагревателя Т₁ = 500 К, температура холодильника Т₂ = 250 К. Определить к.п.д. цикла, а также работу А₁ _,совершенную рабочим веществом при изотермическом расширении, если при изотермическом сжатии совершена работа А₂ = 70 Дж.

3.10. Идеальная холодильная машина работает по обратному циклу Карно и потребляет мощность 1 кВт. При этом она забирает теплоту от тела с температурой -37 ⁰С и отдает телу с температурой 67 ⁰С. Определить к.п.д. цикла и количество теплоты, отнятое у холодного тела за 1 с.

Электростатика

4.1.Расстояние между двумя точечными зарядами q₁ = 22,5×10^-6 Кл и
q₂ = -44×10^-6 Кл равно 5 см. Найти напряженность и потенциал поля в точке, находящейся на расстоянии 3 см от положительного заряда и 4 см от отрицательного заряда. Какова сила взаимодействия между зарядами? Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить расстояние между зарядами вдвое?

4.2.В вершинах квадрата АВСД со стороной 25 см находятся заряды:
q_А = q_В = +100×10^-6 Кл, q_С = q_Д = -100×10^-6 Кл. Вычислить напряженность и потенциал электростатического поля в центре квадрата. Какая сила взаимодействия между зарядами q_А и q_С? Какова потенциальная энергия заряда q_В в электростатическом поле остальных зарядов? Какую работу нужно совершить, чтобы переместить заряд q_Д в центр квадрата?

4.3.В точках А и В помещены заряды q_А = -5×10^-6 Кл и q_В = +20×10^-6 Кл. Найти на прямой, проходящей через эти заряды, ближайшую к точке А точку С, в которой напряженность поля равна нулю. АВ = 10 см. Чему равен потенциал точки С? Какова сила взаимодействия между зарядами? Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить расстояние между зарядами до 15 см?

4.4.Два заряда q ₁ и q ₂= 6 q ₁находятся в вакууме на расстоянии 10 см друг от друга. На каком расстоянии от первого заряда находится точка А₁, в которой напряженность поля равна нулю? На каком расстоянии от первого заряда будет находиться точка А₂, в которой напряженность поля равна нулю, если второй заряд отрицательный? Найдите отношение потенциала в точках А₁ и А₂. Во сколько раз изменится потенциальная энергия взаимодействия заряда, если расстояние между зарядами увеличить в 1,41 раза? Во сколько раз изменится сила взаимодействия между зарядами, если их привести в соприкосновение и развести на прежнее расстояние?

4.5.Два заряда q ₁= 0,8·10^-6 Кл и q ₂ = -0,6·10^-6 Кл находятся на расстоянии 36 см друг от друга. Определить напряженность поля в точке, лежащей посередине между зарядами. Чему станет равна напряженность в этой точке, если второй заряд изменит знак на противоположный? Чему равен потенциал этой точки в обоих случаях? Какова сила взаимодействия между зарядами? Какую работу нужно совершить, чтобы уменьшить расстояние между зарядами в 2 раза?

4.6.Три одинаковых заряда по 0,7 мкКл каждый, расположены в вершинах прямоугольного треугольника с катетами 30 и 60 см. Вычислить напряженность и потенциал электрического поля создаваемого всеми зарядами в точке пересечения гипотенузы с перпендикуляром, опущенным на нее из вершины прямого угла. Какова сила взаимодействия зарядов, на концах гипотенузы треугольника? Какова потенциальная энергия взаимодействия зарядов?

4.7.Два одинаковых заряженных шарика, заряды которых 7×10^-9 и –13×10^-9 Кл, приведены в контакт и вновь удалены друг от друга на расстояние 2 см. Определите силу кулоновского взаимодействия зарядов до и после контакта. Вычислить потенциал и напряженность электростатического поля, созданного зарядами после соприкосновения в точке равноудаленной от зарядов на расстояние 5 см. Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить расстояние между зарядами в 3 раза (до контакта)?

4.8.Два равных заряженных шарика приведены в контакт и затем удалены друг от друга на расстояние 10 см. При этом сила их кулоновского взаимодействия равна 2,25*10^-3 Н. До соприкосновения заряд первого шарика был 7·10^-8 Кл. Определите начальный заряд второго шарика. Во сколько раз изменилась потенциальная энергия взаимодействия зарядов после соприкосновения? Вычислить потенциал и напряженность электростатического поля, созданного зарядами до соприкосновения в точке удаленной от первого заряда на 6 см и от второго заряда на 8 см.

4.9.В двух вершинах равностороннего треугольника со стороной 1 м расположены точечные заряды 5×10^-7 и –5×10^-7 Кл. Рассчитайте напряженность и потенциал электрического поля в третьей вершине треугольника. Какова сила взаимодействия зарядов? Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить расстояние между зарядами вдвое?

4.10. В вершинах равностороннего треугольника со стороной 1 м расположены точечные заряды –2×10^-7, –3×10^-7 и 2×10^-7 Кл. Рассчитайте напряженность и потенциал электрического поля в центре треугольника. Какова сила взаимодействия между одноименными зарядами? Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить размеры треугольника вдвое?

5. Законы электрического тока

5.1. Определите общее сопротивление электрической цепи, силу тока, напряжение и мощность для каждого резистора, и общую силу тока в цепи, если R₁= 2 Ом, R₂= 3 Ом, R₃= 0,8 Ом, R₄= R₅= 4 Ом. Показания вольтметра 4 В. Какое количество теплоты выделилось бы за 1 час на нагревательном элементе с сопротивлением как у второго резистора, если бы его подключили в цепь вместо пятого резистора?

5.2. Источник тока, нагревательный элемент и амперметр включены в цепь последовательно. Источник тока имеет ЭДС 2 В и внутреннее сопротивление r = 0,4 Ом. Амперметр показывает ток I = 1 A. Определить, с каким КПД работает источник, сопротивление нагревательного элемента и его мощность. Какое количество теплоты, выделяется на элементе за 1 минуту?

5.3. Определите общее сопротивление электрической цепи, силу тока, напряжение и мощность для каждого резистора, и общее напряжение в цепи, если R₁= 4 Ом, R₂= 6 Ом, R₃= 15 Ом, R₄= 4 Ом. Показания амперметра 0,5 А. Найдите работу тока, протекающего через второй резистор за 10 минут.

5.4. Под конец зарядки батареи аккумуляторов током силой 5 А присоединённый к ней вольтметр показывал напряжение 6,5 В. В начале разрядки той же батареи током силой 6 А вольтметр показывал напряжение 5,2 В. Пренебрегая током, проходящим через вольтметр, определить ЭДС и внутреннее сопротивление батареи.

5.5. Определите общее сопротивление электрической цепи, силу тока, напряжение и мощность для каждого резистора, и общее напряжение и силу тока в цепи, если R₁= 3 Ом, R₂= 6 Ом, R₃= 5 Ом. Показания амперметра 0,4 А. Найдите работу тока, протекающего через третий резистор за 5 минут.

5.6. Гальванический элемент даёт на внешнем сопротивлении 6 Ом ток 0,15 А, а на сопротивлении 10 Ом ток 0,08 А. Определить ток короткого замыкания. Определить напряжение и мощность внешнего сопротивления в обоих случаях?

5.7. Определите общее сопротивление электрической цепи, силу тока, напряжение и мощность для каждого резистора, и общее напряжение и силу тока в цепи, если R₁= 3 Ом, R₂= 2 Ом, R₃= 4 Ом, R₄= R₅= 10 Ом. Показания амперметра 2 А. Какое количество теплоты выделилось бы за полчаса на нагревательном элементе с сопротивлением как у второго резистора, если бы его подключили в цепь вместо пятого резистора?

5.8. Два параллельно соединенных проводника включены в сеть напряжением 3,2 В. Сопротивление второго проводника 8 Ом, сила тока во первом проводнике 1,6 А. Определите сопротивление первого проводника, силу тока во втором проводнике, а также общее сопротивление и общую силу тока в цепи, электрическую мощность каждого проводника. Во сколько раз отличается количество теплоты, выделяющееся на проводниках за одинаковый промежуток времени?

5.9. Генератор постоянного тока с ЭДС 130 В даёт ток в сеть, состоящую из параллельно включенных 15 ламп сопротивлением 200 Ом и 10 ламп сопротивлением 100 Ом каждая. Найти ток нагрузки и напряжение на зажимах генератора, если его внутреннее сопротивление 0,4 Ом. Сопротивлением проводов пренебречь. Какова полезная мощность сети? Какое количество теплоты выделяется на лампах за 1 час?

5.10. Батарея с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением r = 1,2 Ом питает внешнюю цепь, которая состоит из двух параллельно соединённых ламп сопротивлением 4 Ом и 10 Ом. Определить разность потенциалов на зажимах батареи и токи в лампах. С каким КПД работает батарея? Во сколько раз отличается работа тока в лампах за одинаковый промежуток времени?

Правила Кирхгофа

5.11.