Задачи и УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

3.2.1. Даны две точки и . Найти: 1) уравнение прямой ; 2) угловой коэффициент к этой прямой; 3) угол наклона прямой к оси .

3.2.2. Даны три точки . Найти: 1) уравнение прямой ; 2) уравнение прямой проходящей через точку параллельно прямой ; 3) уравнение прямой проходящей через точку перпендикулярно прямой .

3.2.3. Найти проекцию точки на прямую .

3.2.4. Найти точку симметричную точке относительно прямой .

3.2.5. Через точку пересечения прямых и провести прямую: 1) перпендикулярно прямой ; 2) параллельно этой прямой.

3.2.6. Под каким углом прямая пересекает ось ?

3.2.7. Найти угол между прямыми: 1) и ; 2) и .

3.2.8. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми и .

3.2.9. Найти уравнение прямой, проходящей через точку и удаленной от начала координат на расстояние 5 ед. масштаба.

3.2.10. Даны две противоположные вершины квадрата , . Составить уравнения его сторон.

3.2.11. Даны две вершины треугольника и и точка пересечения его высот . Найти уравнение сторон треугольника.

3.2.12. Треугольник задан координатами своих вершин , , . Требуется: 1) написать уравнение стороны ; 2) написать уравнение высоты и вычислить ее длину ; 3) найти угол между высотой и медианой ; 4) написать уравнение биссектрис , внутреннего и внешнего углов при вершине .

3.2.13. Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину , а также уравнения биссектрисы и медианы , проведенных из одной вершины.

3.2.14. На прямой найти такую точку , сумма расстояний которой до точек и была бы наименьшей.

3.2.15. На прямой найти такую точку , разность расстояний которой до точек и была бы наибольшей.

3.2.16. Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин и уравнения двух высот и .

3.2.17. Найти уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину , а также уравнения высоты и медианы , проведенных из одной вершины.

3.2.18. Среди прямых, проходящих через точку , найти такую, отрезок которой, заключенный между прямыми , делится в точке пополам.

3.2.19. Точка является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Вычислить площадь этого квадрата.

3.2.20. Две стороны квадрата лежит на прямых . Вычислить его площадь.

3.2.21. Даны две смежные вершины квадрата и . Составить уравнения его сторон.

3.2.22. Луч света направлен по прямой . Дойдя до прямой луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.

3.2.23. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и отстоящей от точки на расстоянии .

3.2.24. Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: , , .

3.2.25. Составить уравнение окружности, проходящей через точки , , если ее центр лежит на прямой .

3.2.26. Вычислить расстояние от центра окружности до прямой, проходящей через точки пересечения окружностей , .

3.2.27. Составить уравнение касательной к окружности в точке .

3.2.28. Дан эллипс . Найти: 1) его полуоси; 2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.

3.2.29. Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса , две другие совпадают с концами его малой оси.

3.2.30. Прямая касается эллипса, фокусы которого находятся в точках и . Составить уравнение этого эллипса.

3.2.31. Точка является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой . Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет .

3.2.32. Дана гипербола . Найти: 1) координаты ее центра ; 2) полуоси; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.

3.2.33. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса , а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.

3.2.34. Найти острый угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2.

3.2.35. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет , фокус и уравнение соответствующей директрисы .

3.2.36. Парабола симметрична относительно оси , проходит через точку , а вершина ее лежит в начале координат. Составить ее уравнение.

3.2.37. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1) ; 2) ;

3) ;

4) ; 5) ;

6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) .

3.2.38. Найти канонические уравнения прямой, проходящей через точки и , если: 1) ; 2) .

3.2.39. Найти параметрические уравнения прямой, проходящей через точки и , если: 1) ; 2) .

3.2.40. Найти общие уравнения прямой заданной в канонической форме:

1) 2)

3.2.41. Найти общие уравнения прямой, заданной в параметрической форме:

1)

2)

3)

3.2.42. Найти канонические уравнения прямой заданной общими уравнениями: 1) 2)

3.2.43. Найти параметрические уравнения прямой заданной общими уравнениями: 1) 2)

3.2.44. Доказать параллельность прямых:

1) и

2) и

3) и

3.2.45. Доказать перпендикулярность прямых:

1) и

2) и

3) и

3.2.46. Найти острый угол между прямыми:

 

3.2.47. Определить косинус угла между прямыми

3.2.48. Доказать, что прямые заданные параметрическими уравнениями и пересекаются.

3.2.49. При каком значении прямые , пересекаются?

3.2.50. Составить уравнение плоскости:

1) параллельной оси и проходящей через точки и ;

2) параллельной плоскости и проходящей через точку ;

3) проходящей через ось и через точку .

3.2.51. Найти расстояние между параллельными плоскостями , .

3.2.52. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

3.2.53. Через точки и провести плоскость перпендикулярно плоскости .

3.2.54. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям , .

3.2.55. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки: 1) , , ; 2) , , .

3.2.56. Найти острый угол между прямыми

и

3.2.57. Через точку провести прямую, параллельную оси .

3.2.58. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно: 1) вектору ;

2) прямой ;

3) оси ; 4) оси ; 5) прямой

6) прямой , , .

3.2.59. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

3.2.60. Найти точку пересечения прямой с плоскостью .

3.2.61. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую .

3.2.62. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости .

3.2.63. Найти уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые: и .

3.2.64. Установить тип заданных поверхностей и построить их:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

6) ; 7) ;

8) .

3.2.65. Составить уравнение плоскостей, касательных к сфере и параллельных плоскости .

3.2.66. Установить, при каких значениях плоскость пересекает двуполостный гиперболоид : 1) по эллипсу; 2) по гиперболе.

 

ОТВЕТЫ

3.2.1. 1) 2) 3) .

3.2.2. 1) 2) 3)

3.2.3. .

3.2.4.

3.2.5. 1) ; 2) .

3.2.6. ; .

3.2.7. 1) ; 2) .

3.2.8. 5 ед. масштаба.

3.2.9. .

3.2.10. , ,

, .

3.2.11. ;

.

3.2.12. 1) ; 2) , ; 3) ;

4) , .

3.2.13. , , .

3.2.14. .

3.2.15. .

3.2.16.

3.2.17.

3.2.18. .

3.2.19. 5.

3.2.20. 49.

3.2.21. Два квадрата:

1)

2)

3.2.22.

3.2.23.

3.2.24. .

3.2.25. .

3.2.26. 2.

3.2.27. .

3.2.28. 16.

3.2.29. 1) и 3; 2) и ; 3) ; 4) .

3.2.30. . Указание. Воспользоваться свойством эллипса: произведение расстояний от фокусов до любой касательной к эллипсу равно квадрату малой полуоси.

3.2.31. .

3.2.32. 1) ; 2) ; 3) ;

4) , ; 5) , .

3.2.33. .

3.2.34. .

3.2.35. .

3.2.36. .

3.2.37. 1) парабола; 2) часть параболы, расположенная в четвертом координатном углу; 3) гипербола; 4) ветвь гиперболы, расположенная в нижней полуплоскости; 5) ветвь гиперболы, расположенная в левой полуплоскости; 6) половина эллипса, расположенная в левой полуплоскости; 7) и 8) эллипс; 9) гипербола; 10) правая ветвь гиперболы; 11) парабола.

3.2.38. 1) 2)

3.2.39. 1)

2)

3.2.40. 1) 2)

3.2.41.

1)

2)

3)

3.2.42. 1) 2)

3.2.43. 1)

2)

3.2.46. .

3.2.47. .

3.2.49. .

3.2.50. 1) ; 2) ; 3) .

3.2.51. 6.

3.2.52. .

3.2.53. .

3.2.54. .

3.2.55. 1) ; 2) .

3.2.56. ; .

3.2.57. или .

3.2.58. 1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

3.2.59. .

3.2.60. .

3.2.61. .

3.2.62. .

3.2.63. .

3.2.64. 1) эллипсоид; 2) однополостный гиперболоид; 3) конус; 4) двуполостный гиперболоид; 5) эллиптический параболоид; 6) конус; 7) однополостный гиперболоид; 8) двуполостный гиперболоид.

3.2.65. ; .

3.2.66. 1) ; 2) .