Лекция 3. Критерий сходимости последовательности. Подпоследовательности
План
Определение числа Ейлера
Критерий Коши сходимости последовательности
Подпоследовательности и их свойства
Определение числа Ейлера
Рассмотрим последовательность 
, для которой 
. Покажем, что эта последовательность является сходящейся. Перед этим получим некоторые вспомогательные выводы.
Имеет место неравенство Бернулли:
. (1)
Для доказательства (1) воспользуемся методом математической индукции:
Шаг 1. Проверим, что (1) выполняется для малых значений 
, например, 
. Действительно, если , то (1) будет иметь вид:
,
и очевидно будет истинным.
Шаг 2. Предположим, что (1) уже доказано для некоторого 
, т.е. уже доказано, что
. (2)
Шаг 3. Покажем, что, учитывая (2), формула (1) имеет место для 
, т.е.
. (3)
Рассмотрим детально 
:
что говорит о выполнении (3) и доказательстве (1).
Рассмотрим последовательность 
, где 
. Покажем, что эта последовательность монотонно убывает, то есть для 
. Для этого оценим отношение 
:
Таким образом, 
, а потому монотонно убывает. Поскольку все элементы положительные, то последовательность ограничена снизу. По теореме 7 лекции 2 этоозначает, что - сходящаяся.
Элементы представляются в виде:
,
откуда
.
Тогда
.
Поскольку мы доказали, что сходящаяся, то из последнего равенства вытекает, что и 
также сходящаяся, что и требовалось доказать.
Определение 1. Числом Эйлера (обозначается - 
) называется предел последовательности , для которой , т.е.
.
Число Эйлера является иррациональным числом, его приближенное значение:
.
Критерий Коши сходимости последовательности
Определение 2. Числовая последовательность называется фундаментальной, если для 
, что для 
будет выполняться: 
.
Иначе определение 2 можно сформулировать следующим образом:
Числовая последовательность называется фундаментальной, если
для , что для 
будет выполняться: 
.
Для фундаментальной последовательности вместе с ростом номера элементов последовательности уменьшается расстояние между ними.
Теорема 1 (критерий Коши сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы числовая последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной (без доказательства).
Таким образом, каждая числовая последовательность является одновременно сходящейся и фундаментальной или одновременно расходящейся и нефундаментальной.
Определение 3. Числовая последовательность будет нефундаментальной, если
, что для 
такие, что будет выполняться: 
.
Пример. Доказать, что последовательность , для которой 
, является нефундаментальной.
Пользуясь определением 3, попробуем найти такое 
, что для любого натурального номера 
найдутся элементы последовательности с номерами 
, такие, что будет выполняться:
.
Заметим, что если числа 
будут иметь разную четность (одно из них будет четным, а другое нечетным), то, независимо от их непосредственных значений, значение 
. Учитывая это, возьмем 
, тогда для любого натурального номера можно рассмотреть элементы с номерами 
(
и имеют разную четность):
.
Таким образом, рассмотренная последовательность является нефундаментальной, а потому расходящейся.
Задание. Доказать, что последовательность , для которой 
, является нефундаментальной.
Задание. Доказать, что последовательность , для которой 
, является нефундаментальной.
Определение 4. Будем говорить, что последовательность стремится к 
и обозначать 
(или 
), если для 
, что для 
будет выполняться: 
.
Если последовательность стремится к , она неограничена с верху.
Пример. Последовательности, для которых 
-ый член определяется по формуле 
, стремятся к .
Определение 5. Будем говорить, что последовательность стремится к 
и обозначать 
(или 
), если для , что для будет выполняться: 
.
Если последовательность стремится к 
, она неограничена с низу.
Пример. Последовательности, для которых -ый член определяется по формуле 
, стремятся к 
.
Определение 6. Будем говорить, что последовательность стремится к 
и обозначать 
(или 
), если для , что для будет выполняться: 
.
Если последовательность стремится к 
, она неограничена.
Пример. Последовательности, для которых -ый член определяется по формуле 
, стремятся к 
.
Замечание 1. Последовательности, которые стремятся к 
, 
, являются расходящимися, потому что они являются неограниченными.
Определение 7. Последовательности, которые стремятся к 
, 
, , называются бесконечно большими.
Определение 8. Последовательности, которые стремятся к 0, называются бесконечно малыми.
Пример. Последовательности, для которых -ый член определяется по формуле 
, являются бесконечно малыми.
Замечание 2. Из теоремы 6 лекции 2 вытекает, что сумма, произведение бесконечно малых последовательностей, произведение бесконечно малой последовательности на постоянную будет бесконечно малой последовательностью.
Замечание 3. Пусть последовательность бесконечно малая, тогда последовательность 
- бесконечно большая. Если последовательность бесконечно большая, то последовательность 
- бесконечно малая.
Задание. Доказать замечание 2.
Утверждение 1. Пусть последовательность бесконечно малая, а последовательность 
- ограничена. Тогда последовательность 
- бесконечно малая.
Задание. Доказать утверждение 1.
Утверждение 2. Пусть последовательность бесконечно большая, а последовательность - ограничена. Тогда последовательность 
- бесконечно малая.
Задание. Доказать утверждение 2.
Пример. Исследовать на сходимость последовательность 
, для которой 
.
Представим
,
тогда последовательность можно рассматривать как произведение двух последовательностей: 
(такая последовательность является бесконечно малой) и 
(эта последовательность является ограниченной). Тогда по утверждению 1 последовательность есть бесконечно малой, то есть
.