Лекция 4. Предел функции одной переменной
План
Определение предела функции по Коши и по Гейне. Геометрический смысл предела функции в точке
Предел функции и арифметические операции
Критерий существования предела функции
Односторонние пределы функции одной переменной
Односторонние пределы монотонной функции
Определение предела функции по Коши и по Гейне. Геометрический смысл предела функции в точке
Пусть функция 
определена на интервале 
со значениями в 
:
.
Точка 
.
Определение 1 (предела функции по Коши). Говорят, что число 
является пределом функции в точке 
(когда 
) и обозначают:
, (1)
если для 
такое, что для 
имеет место неравенство:
. (3)
Если функция имеет предел в точке , говорят, что функция является сходящейся в точке 
или стремится к , когда . Это можно обозначать не только в виде (1), а и следующим образом:
.
Геометрический смысл предела функции состоит в следующем. Если в неравенстве (3) убрать модуль, оно будет иметь вид:
, (4)
откуда видно, что 
определяет произвольную окрестность : 
, в которой находятся все значения функции , для которых 
(неравенство (2)), т.е. 
. Иначе говоря, число является пределом функции , когда , если для любой 
-окрестности числа найдется такая 
-окрестность точки 
, что для любого аргумента 
функции из этой -окрестности соответствующие значения функции оказываются в -окрестности (или в -коридоре) числа (рис.1).
Для поведения функции в точке возможны два варианта:
· Значение 
может совпадать со значением предела (рис.2);
· функция в точке может быть вообще неопределенной (рис.3); или значение не совпадает со значением предела (именно такой случай изображен на рис.1).
Рис.1.
Рис.2.
Рис. 3.
Таким образом, для существования предела функции в точке не важно поведение функции в самой точке 
(об этом свидетельствует левая часть неравенства (2): 
, которая означает, что рассматриваются такие аргументы 
функции , для которых 
). Функция вообще там может быть неопределенной, а предел будет существовать.
Пример. Пусть 
(рис.4). Показать, что для 
: 
. Для того, чтобы решить поставленную задачу, надо показать, что для (надо получить формулу, которая выражает 
через 
) такое, что для 
выполняется неравенство:
. (5)
Иначе говоря, нам надо из неравенства (5) получить неравенство для оценки 
. Для этого рассмотрим (5) детально:
. (6)
Если левая часть (6) будет менше , т.е. как только 
, то неравенство (5) будет выполняться автоматически:
.
Таким образом понятно, что если в качестве 
взять просто , т.е. 
, то для аргументов функции из этой 
-окрестности точки 
будет выполняться (5). Поскольку - произвольное, то задача решена.
Пример. Пусть 
. Показать, что 
.
В этом случае 
. Для того, чтобы решить поставленную задачу, надо показать, что для (надо получить формулу, которая выражает через ) такое, что для 
выполняется неравенство:
. (7)
Иначе говоря, неравенство (7) надо решить относительно 
, получить для 
оценку сверху:
. (8)
Из (8) следует, что если , т.е. 
, то и (7) будет выполняться.
Определение 2. Число не является пределом функции , когда , если 
такое, что для 
выполняется неравенство:
.
Задание. Выяснить, в чем состоит геометрический смысл того, что 
.
Задание. Показать, что для функции 
в точке предела не существует.
Определение 3 (предела функции по Гейне). Говорят, что число является пределом функции в точке 
, если для любой последовательности аргументов 
, для которой выполняются условия:
1) 
для 
;
2) 
соответствующая последовательность значений функции 
является сходящейся и 
.
Теорема 1. Определения 1 и 3 предела функции эквивалентны, т.е. если 
по Коши, то и по Гейне, и наоборот. (без доказательства).
Теорема 2. Если предел функции в точке существует, то он единственный. (без доказательства).
Следствие. Пусть для функции построены две последовательности аргументов: и 
, для которых выполняются условия определения 3, те.е. 
для , и , 
. При этом соответствующие последовательности значений функции 
і 
такие, что , а 
, и 
. Тогда функция не имеет предела в точке .
Задание. Пользуясь следствием из предыдущей теоремы, доказать, что 
не имеет предела в точке 
.