Лекция 4. Предел функции одной переменной
План
Определение предела функции по Коши и по Гейне. Геометрический смысл предела функции в точке
Предел функции и арифметические операции
Критерий существования предела функции
Односторонние пределы функции одной переменной
Односторонние пределы монотонной функции
Определение предела функции по Коши и по Гейне. Геометрический смысл предела функции в точке
Пусть функция определена на интервале со значениями в :
.
Точка .
Определение 1 (предела функции по Коши). Говорят, что число является пределом функции в точке (когда ) и обозначают:
, (1)
если для такое, что для имеет место неравенство:
. (3)
Если функция имеет предел в точке , говорят, что функция является сходящейся в точке или стремится к , когда . Это можно обозначать не только в виде (1), а и следующим образом:
.
Геометрический смысл предела функции состоит в следующем. Если в неравенстве (3) убрать модуль, оно будет иметь вид:
, (4)
откуда видно, что определяет произвольную окрестность : , в которой находятся все значения функции , для которых (неравенство (2)), т.е. . Иначе говоря, число является пределом функции , когда , если для любой -окрестности числа найдется такая -окрестность точки , что для любого аргумента функции из этой -окрестности соответствующие значения функции оказываются в -окрестности (или в -коридоре) числа (рис.1).
Для поведения функции в точке возможны два варианта:
· Значение может совпадать со значением предела (рис.2);
· функция в точке может быть вообще неопределенной (рис.3); или значение не совпадает со значением предела (именно такой случай изображен на рис.1).
Рис.1.
Рис.2.
Рис. 3.
Таким образом, для существования предела функции в точке не важно поведение функции в самой точке (об этом свидетельствует левая часть неравенства (2): , которая означает, что рассматриваются такие аргументы функции , для которых ). Функция вообще там может быть неопределенной, а предел будет существовать.
Пример. Пусть (рис.4). Показать, что для : . Для того, чтобы решить поставленную задачу, надо показать, что для (надо получить формулу, которая выражает через ) такое, что для выполняется неравенство:
. (5)
Иначе говоря, нам надо из неравенства (5) получить неравенство для оценки . Для этого рассмотрим (5) детально:
. (6)
Если левая часть (6) будет менше , т.е. как только , то неравенство (5) будет выполняться автоматически:
.
Таким образом понятно, что если в качестве взять просто , т.е. , то для аргументов функции из этой -окрестности точки будет выполняться (5). Поскольку - произвольное, то задача решена.
Пример. Пусть . Показать, что .
В этом случае . Для того, чтобы решить поставленную задачу, надо показать, что для (надо получить формулу, которая выражает через ) такое, что для выполняется неравенство:
. (7)
Иначе говоря, неравенство (7) надо решить относительно , получить для оценку сверху:
. (8)
Из (8) следует, что если , т.е. , то и (7) будет выполняться.
Определение 2. Число не является пределом функции , когда , если такое, что для выполняется неравенство:
.
Задание. Выяснить, в чем состоит геометрический смысл того, что .
Задание. Показать, что для функции в точке предела не существует.
Определение 3 (предела функции по Гейне). Говорят, что число является пределом функции в точке , если для любой последовательности аргументов , для которой выполняются условия:
1) для ;
2)
соответствующая последовательность значений функции является сходящейся и .
Теорема 1. Определения 1 и 3 предела функции эквивалентны, т.е. если по Коши, то и по Гейне, и наоборот. (без доказательства).
Теорема 2. Если предел функции в точке существует, то он единственный. (без доказательства).
Следствие. Пусть для функции построены две последовательности аргументов: и , для которых выполняются условия определения 3, те.е. для , и , . При этом соответствующие последовательности значений функции і такие, что , а , и . Тогда функция не имеет предела в точке .
Задание. Пользуясь следствием из предыдущей теоремы, доказать, что не имеет предела в точке .