Определение предела функции по Коши и по Гейне. Геометрический смысл предела функции в точке




Лекция 4. Предел функции одной переменной

План

Определение предела функции по Коши и по Гейне. Геометрический смысл предела функции в точке

Предел функции и арифметические операции

Критерий существования предела функции

Односторонние пределы функции одной переменной

Односторонние пределы монотонной функции

Определение предела функции по Коши и по Гейне. Геометрический смысл предела функции в точке

Пусть функция определена на интервале со значениями в :

 

.

 

Точка .

Определение 1 (предела функции по Коши). Говорят, что число является пределом функции в точке (когда ) и обозначают:

 

, (1)

 

если для такое, что для имеет место неравенство:

. (3)

 

Если функция имеет предел в точке , говорят, что функция является сходящейся в точке или стремится к , когда . Это можно обозначать не только в виде (1), а и следующим образом:

.

Геометрический смысл предела функции состоит в следующем. Если в неравенстве (3) убрать модуль, оно будет иметь вид:

 

, (4)

 

откуда видно, что определяет произвольную окрестность : , в которой находятся все значения функции , для которых (неравенство (2)), т.е. . Иначе говоря, число является пределом функции , когда , если для любой -окрестности числа найдется такая -окрестность точки , что для любого аргумента функции из этой -окрестности соответствующие значения функции оказываются в -окрестности (или в -коридоре) числа (рис.1).

Для поведения функции в точке возможны два варианта:

· Значение может совпадать со значением предела (рис.2);

· функция в точке может быть вообще неопределенной (рис.3); или значение не совпадает со значением предела (именно такой случай изображен на рис.1).

 

Рис.1.

 

 

Рис.2.

 

 

Рис. 3.

 

Таким образом, для существования предела функции в точке не важно поведение функции в самой точке (об этом свидетельствует левая часть неравенства (2): , которая означает, что рассматриваются такие аргументы функции , для которых ). Функция вообще там может быть неопределенной, а предел будет существовать.

Пример. Пусть (рис.4). Показать, что для : . Для того, чтобы решить поставленную задачу, надо показать, что для (надо получить формулу, которая выражает через ) такое, что для выполняется неравенство:

. (5)

 

Иначе говоря, нам надо из неравенства (5) получить неравенство для оценки . Для этого рассмотрим (5) детально:

 

. (6)

 

Если левая часть (6) будет менше , т.е. как только , то неравенство (5) будет выполняться автоматически:

 

.

 

Таким образом понятно, что если в качестве взять просто , т.е. , то для аргументов функции из этой -окрестности точки будет выполняться (5). Поскольку - произвольное, то задача решена.

Пример. Пусть . Показать, что .

В этом случае . Для того, чтобы решить поставленную задачу, надо показать, что для (надо получить формулу, которая выражает через ) такое, что для выполняется неравенство:

 

. (7)

 

Иначе говоря, неравенство (7) надо решить относительно , получить для оценку сверху:

. (8)

 

Из (8) следует, что если , т.е. , то и (7) будет выполняться.

Определение 2. Число не является пределом функции , когда , если такое, что для выполняется неравенство:

 

.

 

Задание. Выяснить, в чем состоит геометрический смысл того, что .

Задание. Показать, что для функции в точке предела не существует.

Определение 3 (предела функции по Гейне). Говорят, что число является пределом функции в точке , если для любой последовательности аргументов , для которой выполняются условия:

1) для ;

2)

соответствующая последовательность значений функции является сходящейся и .

Теорема 1. Определения 1 и 3 предела функции эквивалентны, т.е. если по Коши, то и по Гейне, и наоборот. (без доказательства).

Теорема 2. Если предел функции в точке существует, то он единственный. (без доказательства).

Следствие. Пусть для функции построены две последовательности аргументов: и , для которых выполняются условия определения 3, те.е. для , и , . При этом соответствующие последовательности значений функции і такие, что , а , и . Тогда функция не имеет предела в точке .

Задание. Пользуясь следствием из предыдущей теоремы, доказать, что не имеет предела в точке .

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2021-04-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: