Пусть 
.
Определение 5. Правой (левой) полуокрестностью точки 
называется интервал 
(
), где 
.
Пусть функция 
определена в некоторой правой полуокрестности точки .
Определение 6. Число 
называется пределом функции в точке справа (или правосторонним пределом) и обозначается
,
если для 
такое, что для 
выполняется неравенство:
.
Определение 7. Число 
называется пределом функции в точке слева (или левосторонним пределом) и обозначается
,
если для такое, что для 
выполняется неравенство:
.
Левосторонний и правосторонний предел вместе называют односторонними пределами.
Если 
, то в обозначении односторонних пределов пишут не 
, 
, а
, 
.
Пример. Пусть 
. Найти односторонние пределы функции в точке .
При вычислении левостороннего (правостороннего) предела в точке 
поведение функции, ее значения, ее формула рассматриваются слева (справа) от .
Начнем с правостороннего предела. Любая правосторонняя окрестность точки содержит в себе только положительные значения 
, для которых 
, а 
, тогда
,
поскольку предел постоянной, независимо от того, куда стремится , равняется ей самой.
Любая левосторонняя окрестность точки содержит в себе только отрицательные значения , для которых 
, а 
, тогда
.
Полученные односторонние пределы имеют разные значения. График функции представлен на рис.5. Понятно, что 
не существует.
Теорема 5 (критерий существования предела функции). Для того, чтобы функция имела предел в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали оба односторонних предела, и они были равны.
Доказательство. Необходимость. Пусть существует 
. По определению предела функции по Коши это означает, что для такое, что для 
выполняется неравенство: 
. Условие (**)выполняется тогда, когда выполняется условие (*). Условие (*) означает, что 
, т.е. 
, 
может находиться как справа (условие (**) выполняется), так и слева (условие (**) выполняется) от 
, 
(рис.6).
Рис.6.
Выполнение (**), когда 
, свидетельствует по определению, что 
, а выполнение (**), когда 
, свидетельствует по определению, что 
, что и нужно было доказать.
Достаточность. Пусть существуют 
. Из существования правостороннего предела 
по определению 6 вытекает, что для 
такое, что для 
выполняется неравенство:
.
Из существования левостороннего предела 
по определению 7 вытекает, что для 
такое, что для 
выполняется то же самое неравенство:
.
Обозначим: 
. Если 
удовлетворяет условию: 
, то он обязательно окажется или в правой, или в левой определенных выше полуокрестностях точки , а потому будет иметь место неравенство . Таким образом,
для 
, что 
будет выполняться: , а это означает, что , что и нужно было доказать.
Пример. Выяснить, имеет ли предел в точке 
функция 
(график представлен на рис.6).
Найдем односторонние пределы функции в точке :
.
Поскольку
,
то по предыдущей теореме
.
Пример. Выяснить, имеет ли предел в точке 
функция 
.
Начнем с вычисления правостороннего предела:
.
Поскольку правосторонний предел функции в точке не существует, то по предыдущей теореме не существует и 
.