Методика изучения теоремы
Теорема «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» формулируется на уроке № 3
І. Этап введения
Мотивация целесообразности изучения теоремы
- Ребята, мы изучаем с вами прямоугольный треугольник, сегодня мы познакомимся с очень важной теоремой – теоремой Пифагора. А что вы знаете о Пифагоре?
Ученики отвечают.
-Пифагор – древнегреческий ученый, который родился в 570 г. До н.э. на о. Самос (Греция), постиг все науки Египта (жил там 22 года), в том числе и математику, основал позже школу пифагорейцев. А слышали ли вы что-то о теореме Пифагора?
Ученики отвечают: «Пифагоровы штаны во все стороны равны».
- Верно, это шуточная формулировка теоремы. Теперь я предлагаю вам решить древнюю китайскую задачу. 
Задача: «Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды, и какова длина камыша?».
Для решения этой задачи необходима теорема Пифагора. Но для начала следует повторить пройденный материал.
Актуализация знаний и умений учащихся, необходимых для сознательного усвоения теоремы
-Ребята, для того, чтобы овладеть теоремой Пифагора, повторим некоторые факты о прямоугольных треугольниках.
Тест «Прямоугольные треугольники: (на партах лежат тесты, учащиеся работают в парах, верный ответ ребята просто обводят ручкой). После выполнения теста ученики формулируют определения и свойства, использованные при решении теста.
Тест «Прямоугольные треугольники»
Обведите кружком правильный с вашей точки зрения ответ.
1. Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов равен:
А) 450 Б)180 0 В) 600 Г) 900
2. Найдите на чертеже прямоугольный треугольник:
А) Б) В) Г)
 | |||||
 | |||||
 | |||||
3. 
Стороны МК и КР, образующие прямой угол в прямоугольном треугольнике МКР, называют:
А) катетами; Б) основаниями;
В) гипотенузами; Г) другой ответ
 |  | ||
4. По предыдущему чертежу назовите гипотенузу:
А) КР Б) КМ В) МР Г) нет верного ответа
5. Чему равна сумма углов <М и <Р в прямоугольном треугольнике МКР (см. предыдущий рис.):
А) 450 Б) 1800 В) 900 Г) нельзя определить
6. Укажите формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника с катетами a и b:
А)S = 
ab Б) S = ab В) S = (a + b)с Г) другой ответ
 | |||||
 | |||||
 |
Подведение учащихся к формулировке теоремы
Учитель предлагает выполнить практическую работу. Каждому раздается карточка с таблицей, где необходимо заполнить пропуски. В ходе выполнения работы ученики замечают, что ответы в некоторых столбцах совпадают.
| № | Катет а | Катет b | Гипотенуза c | a2 | b2 | c2 | a2+c2 | b2+c2 | a2+b2 |
| 1. | |||||||||
| 2. | |||||||||
| 3. |
ІІ. Этап усвоения
2.1. Формулировка теоремы, овладения ее содержанием, структурой, назначением
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2 = a2 + b2
Краткая запись на доске:
Учитель предлагает сформулировать теорему в условной форме:
Условная форма: Если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Утверждение истинно.
Формирование ориентировочной схемы доказательства
} Организация поиска доказательства.
-Ребята, как в квадрате со стороной а найти диагональ d?
Учитель объясняет, что для этого нужно найти соотношение между а и d. Напомнив формулу площади квадрата S = a2, учитель с учениками устанавливает, что площадь треугольника равна 
а2. Он обращает внимание на сл. рисунок объясняя, что на нем изображен квадрат составленный из 4-х треугольников, где например AD=d, а AO=a. Вместе с учениками выясняет, что площадь этого квадрата а 2∙4=2а2 из чего следует, что d2=2a2 или d2= а2+ a2. Учитель обращает внимание, что треугольник прямоугольный и равнобедренный.
} Составление плана доказательства.
Докажем теорему Пифагора для произвольного прямоугольного треугольника. Существует несколько способов, мы будем использовать метод доказательства через подобные треугольники:
1)изобразим прямоугольный треугольник ABC и проведем высоту CH
2)Устанавливаем подобность между треугольниками ABC, ACH, CBH и используем полученные соотношения.
Доказательство теоремы
1)Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H.
2)Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения
получаем
Что эквивалентно
Сложив, получаем
или
, что и требовалось доказать
ІІІ. Этап закрепления
Условная форма: Если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Утверждение истинно.
Обратное утверждение: Если в треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то этот треугольник – прямоугольный.
Утверждение истинно.
Противоположное утверждение: Если треугольник не прямоугольный, то квадрат гипотенузы не равен сумме квадратов катетов.
Утверждение истинно.
Противоположное обратному: Если в треугольнике квадрат гипотенузы не равен сумме квадратов катетов, то этот треугольник – не прямоугольный.
Утверждение истинно.
Базовый уровень:
Задача: Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 6 см и 8 см.
Задача: Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и второй катет равны 15 см и 9 см.
Задача: Найдите диагонали прямоугольного треугольника со сторонами 5 см и 12 см.
Задача: Основание равнобедренного треугольника равно 60 см, а высота, опущенная на боковую сторону – 72 см. Найдите периметр треугольника.
Задача: Найдите высоту, опущенную на гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см.
Основной уровень:
Задача: Найдите высоту трапеции с основаниями 4 дм и 14 дм и боковыми сторонами 6 дм и 8 дм.
Задача: Катеты прямоугольного треугольника относятся как 20 к 21,а разность между радиусами описанной и вписанной окружности равна 17.найдите гипотенузу треугольника.
Задача Докажите, что треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см является прямоугольным треугольником.
Задача Высота прямоугольного треугольника равна 3 
и делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 6 см больше второго. Найдите катеты треугольника.
Задача Основание прямоугольной трапеции равны 6 см и 8 см. Один из углов трапеции равен 120˚. Найдите диагонали трапеции.
Высокий уровень
Задача В равнобедренную трапецию вписана окружность с радиусом 2 см. Найдите стороны трапеции, если ее площадь равна 20 см2.
Задача Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 13 см, 14см, 15 см.
Задача В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла провели медиану СМ и высоту СН. Найдите гипотенузу, если СМ:СН = 5:4, а МН = 3 см.
Задача Диагонали трапеции равны 4 см и 3 см, а отрезок, который соединяет середины оснований – 2,5 см. Найдите площадь трапеции.
Задача Диагонали вписанного четырехугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что полусумма квадратов его сторон равна квадрату диаметра окружности.
IV. Этап использования