Построение математической модели

1. Определение целевой функции

Обозначим количество металлов I, II, III и IV, использованных для получения сплава А, переменными Х _1А, Х _2А, Х _3А, Х _4А. Количество металлов I, II, III и IV, использованных для получения сплава В, обозначим переменными Х _1В, Х _2В, Х _3В, Х _4В.

Для обозначения количества используемой руды введем переменные Y ₁, Y ₂, Y ₃.

Объем производимого сплава А (в тоннах) равен

Х _1А + Х _2А + Х _3А + Х _4А.

Аналогично объем сплава В равен

Х _1В + Х _2В + Х _3В + Х _4В.

Прибыль от продажи сплава А составит

Z ₁ = 200 (Х _1А + Х _2А + Х _3А + Х _4А), (16)

а прибыль от продажи сплава В равна

Z ₂ = 210 (Х _1В + Х _2В + Х _3В + Х _4В). (17)

Стоимость руд, использованных при литье металлов, равна

Z ₃ = 30 Y ₁ + 40 Y ₂ + 50 Y ₃. (18)

Тогда целевую функцию – прибыль предприятия – можно записать в виде разности между прибылью от продажи сплавов и затратами на руды

Z = Z ₁ + Z ₂ - Z ₃. (19)

Или, подставляя выражения (16), (17) и (18) получим

Z = 200 (Х _1А + Х _2А + Х _3А + Х _4А) + 210 (Х _1В + Х _2В + Х _3В + Х _4В) -30 Y ₁-40 Y ₂ – 50 Y ₃ (20).

2. Определение ограничений на переменные

Можно выделить четыре вида ограничений:

а) По физическому смыслу переменных – объемы используемых металлов и руд не могут быть отрицательными, следовательно

(21)

б) Ограничения на состав сплавов. Согласно табл.49, получаем

(22)

в) Ограничения на состав металлов согласно табл. 48:

(23)

г) ограничения по запасам руды:

(24)

Итак, для решения задачи нужно найти такие значения расходуемых объемов металлов Х _1А, Х _2А, Х _3А, Х _4А, Х _1В, Х _2В, Х _3В, Х _4В и руд Y _1, Y ₂, Y ₃, которые обеспечат максимальное значение целевой функции (20) при выполнении ограничений (21) – (24).

3.2.6.2. Построение начального плана решения

1. Отведем под переменные Х _1А, Х _2А, Х _3А, Х _4А диапазон ячеек В4:В7 электронной таблицы (в табл. 50 ЭТ приведена в режиме показа вычислений, в табл. 51 – в режиме показа формул Excel, в табл. 52 – показа формул в Calc).

Таблица 50

2. Для хранения переменных Х _1В, Х _2В, Х _3В, Х _4В отведем диапазон ячеек С4:С7 электронной таблицы.

3. В ячейках Е5:Е7 разместим значения переменных Y _1, Y ₂, Y ₃. Для всех переменных начальные значения полагаем равными нулю.

4. В диапазоне ячеек F5:F7 вводим значения имеющихся запасов руды из второго столбца табл. 48.

5. В диапазон ячеек G5:G7 вводим цены за одну тонну руды из последнего столбца табл. 48.

6. В диапазон ячеек Н5:К7 помещаем характеристики состава руд из столбцов 3 – 6 табл. 49.

7. В ячейки диапазона А10:А15 вводим левые части ограничений (22).

8. В ячейки диапазона Е10:Е15 вводим правые части ограничений (22).

9. В ячейки диапазона А16:А19 вводим левые части ограничений (23).

10. В ячейки диапазона Е16:Е19 вводим правые части ограничений (23).

11. В ячейке А21 размещаем целевую функцию (20).

3.6.3. Оптимизация плана решения

1) Вызываем режим Поиск решения (Сервис – Поиск решения).

2) Заполняем окно Поиск решения (рис. 14а для Excel и 14б для Calc).

3) Командой Выполнить запускаем режим Поиск решения.

Результат его работы представлен в табл. 53.

Таблица 51

В OpenOffice.org Calc строки 8-21 будут иметь вид табл. 52.

Таблица 52

Excel Microsoft Office

Рис. 14а

OpenOffice.org Calc

Рис. 14б

Таблица 53