Определение. Целым неотрицательным числом называют имя класса разбиения совокупности всех конечных множеств отношением эквивалентности.

0 1 2 3 …

Определение. Натуральным числом называют отличное от нуля целое неотрицательное число.

Множество натуральных чисел обозначают символом N, целых неотрицательных чисел символом N₀, то есть N₀={0} N.

Каждый класс разбиения характерен тем, что содержит равночисленные множества и определяется любым своим представителем. Следовательно, любое целое неотрицательное число а можно рассматривать как характеристику мощности каждого множества, находящегося в классе а.

Определение.Целое неотрицательное число а называют количеством элементов множества А, если множество А является представителем числа а, то есть n(A)=а А а.

Итак, неотрицательное число 2 — это имя класса равномощных друг другу конечных множеств.

Следовательно, имя — символ «2 » — это количественное целое неотрицательное число; значением числа 2 является класс, в котором находятся все множества, равномощные, например, множеству В = {а, в}. Т.к. множество В принадлежит классу равномощных множеств, обозначенному символом 2 (А 2), то оно является представителем этого класса, т. е. {а, в} = А₂. Значением числа m является тот класс равномощных конечных множеств, собственным именем которого оно является.

Смысл числа m заключается в том, что число характеризует класс элементов любого конечного множества, принадлежащего классу, именем которого является.

Определение.Натуральным числовым рядом называют упорядоченное отношением «меньше» множество всех натуральных чисел.

Определение.Отрезком N_а натурального числового ряда называют упорядоченное отношением «меньше» множество натуральных чисел, каждое из которых меньше числа а или равно ему.

Определение.Установление взаимнооднозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального числового ряда, называют счетом элементов множества А.

Результат счета не зависит от порядка счета. Например: проведем счет элементов множества X = {а, в, с, d}.

Пусть f = {(а, 1); (в, 2); (с, 3); (d, 4)}. Т.к. f — биекция множества X на N₄, то по определению f — это счет элементов множества X.

I признак равенства. Число m равно числу p, тогда и только тогда, когда существует представитель числа m, равномощный некоторому представителю числа p: m = p ( A_m, A_p)[A_m~A_p]

Доказательство. Пусть m, p — произвольные целые неотрицательные числа А_m, А_p — некоторые их представители. Докажем, что если m = p A_m ~ A_p.

Если m = p, то они определяют один и тот же класс разбиения М / ~. Следовательно А_m и А_p находятся в одном классе равномощных множеств и следовательно A_m ~ A_p.

Докажем, что если A_m ~ A_p m = p. Если A_m ~ A_p, то всякий элемент класса m — это множество равномощное А_m следовательно равномощное и А_p и поэтому находится в одном с ним классе, а именно в классе p. Так как любой элемент класса m является элементом класса p, то класс m есть подмножество класса p. Аналогично доказывается, что класс p есть подмножество класса m. Значит класс m равен классу p, т.е. числа m и p определяют один и тот же класс разбиения М / ~, т.е. m = p.

II признак равенства. Число m равно числу p тогда и только, тогда представители чисел m и p, являющиеся представителями цепочки , равны. m = p Q_m = Q_p

Теорема. Отношение «равно» является эквивалентностью, т.е. обладает свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности).

1. Рефлексивность отношения «равно», то есть ( х N₀)[х = х].

2. Симметричность отношения «равно». ( х, у N₀)[х = у у = х].

3. Транзитивность отношения «равно». ( х, у, z N₀)[x = y y = z x = z].

Доказательство. Пусть m, p — произвольные целое неотрицательное число. По условию х=у у=z Q_х=Q_у Q_у=Q_z Q_х = Q_z х = z.

Определение 1.Целое неотрицательное число m меньше целое неотрицательное число p (или число p больше числа m), если существует представитель числа m, являющийся подмножеством некоторого представителя числа p и неравного ему, то есть m < p ( A_m, A_p)[A_m A_p A_m A_p]

Определение 2.Целое неотрицательное число m меньше целого неотрицательного числа p (или p больше числа m), если Q_m подмножество Q_p и неравно ему, то есть m < p Q_m Q_p Q_m Q_p.

Из определения очевидно, что m < p p > m.

Теорема. Отношение «меньше» на множестве N₀ является отношением строго линейного порядка. Следовательно, отношение «меньше» является антирефлексивным, антисимметричным и транзитивным, линейным.

Доказательство. Докажем антирефлексивность отношения «меньше», то есть ( х N₀)[ ] методом от противного. Пусть ( х N₀)[х < х]. Если х < х (по лемме) х х, что противоречит рефлексивности равенства чисел ( х N₀)[х < х] Л ( х N₀)[ ].

Антисимметричность отношения «меньше», то есть ( х, у N₀)[х < у ].

Доказательство. Докажем антисимметричность отношения «меньше» методом от противного. Пусть х<у и у<х (Q_х Q_у Q_х Q_у) (Q_у Q_х Q_у Q_х) (Q_х Q_у Q_у Q_х) (Q_х Q_у) что противоречит определению отношения «равно» Q_х = Q_у Q_х Q_у, чего быть не может следовательно ( х, у N₀)[х < у ].

Транзитивность отношения «меньше»,то есть ( х, у, z N₀)[х < у у < z x < z].

Доказательство. Докажем транзитивность отношения «меньше». Пусть x, y, z — целое неотрицательное число Q_х, Q_у , Q_z — их представители. По условию х < у и у < z следовательно по определению отношения «меньше» (Q_х Q_у Q_х Q_у) (Q_у Q_z Q_у Q_z) следовательно по определению подмножества Q_х Q_z Q_х Q_z следовательно по определению отношения «меньше» х < z.

Линейность отношения «меньше», то есть ( х, у N₀)[х у х < у у < х].