Последовательность применения метода сечений

ЗАДАНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ

Изучить тему занятия №7 «Растяжение и сжатие». В рабочей тетраде письменно ответить на вопросы. После вопроса напечатать слово ОТВЕТ и напечатать (написать) ответ:

Вопросы и здания

1. Дайте определение понятию «Сопротивление материалов»?

2. Что называется прочностью?

3. Что понимают под жесткостью?

4. Что понимают под устойчивостью?

5. Перечислите отдельные простые элементы конструкций сложной формы.

6. Как в сопротивлении материалов называются различные конструкции брусьев?

7. Что понимают под упругостью?

8. Какие материалы называют пластичными?

9. Что считается нарушением прочностью?

10. Какие нагрузки считаются динамическими и статическими?

11. Выполните таблицу следующей формы:

 

Основные деформации

 

№ п.п.	Наименование деформации	Примеры деталей, испытывающих данную деформацию (из учебника)	Примеры деталей, испытывающих данную деформацию (дополнительно)

 

12. Почему в сопротивлении материалов применяются ряд гипотез и допущений?

13. Для чего применяется метод сечений?

14. Выполните таблицу следующей формы:

 

Последовательность применения метода сечений

 

№ п.п.	Содержание очередного этапа действий	Рисунок и/или формула

 

15. Что такое напряжение?

16. Что является внутренними силовыми факторами?

17. Перечислите внутренние силовые факторы (с обозначениями).

18. Какие уравнения используются для определения внутренних силовых факторов?

19. Какие различные внутренние силовые факторы возникают при разных деформациях в поперечном сечении бру­са?

20. Дайте определение понятию «Растяжение или сжатие».

21. Как определяется продольная сила на участках бруса, нагруженного растягивающими и сжимающими силами? Проиллюстрировать рисунком.

22. Каково правило знаков при определении продольных сил?

23. Напишите формулу для определения нормального напряжения при растяжении (сжатии), названия ее составляющих и единицы измерения.

24. Напишите все формулы для определения относительного удлинения бруса при растяжении (сжатии), названия ее составляющих и единицы измерения.

25. Сформулируйте и напишите формулу закона Гука.

26. Что называют модулем упругости первого рода, и каковы его единицы измерения?

27. Для чего предназначена и как образуется диаграмма растяжения?

28. Каковы характеристики диаграммы растяжения?

29. Чем отличается диаграмма растяжения пластичных и хрупких металлических сплавов?

30. Что называют коэффициентом запаса прочности и какова формула для его определения (с названием всех составляющих)?

31. В чем заключается условие прочности детали конструкции (написать формулу с названием всех составляющих)?

32. Какие три вида задач встречаются при расчете конструкций на прочность?

 

Занятие №7 «Растяжение и сжатие»

Сопротивление материалов – это наука о прочности и деформируемости материалов и элементов машин и сооружений.

Прочностью называется способность материала конст­рукций и их элементов сопротивляться действию внешних сил, не разрушаясь (в дальнейшем понятие прочности будет уточнено).

В сопротивлении материалов рассматривают методы расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.

Расчеты на прочность дают возможность определить размеры и форму деталей, выдерживающих заданную нагрузку, при наименьшей затрате материала.

Под жесткостью понимается способность тела или конструкции сопротивляться образованию деформации.

Расчеты на жесткость гарантируют, что изменения формы и размеров конструкций и их элементов не превзойдут допустимых норм.

Под устойчивостью понимается способность конструк­ции сопротивляться усилиям, стремящимся вывести ее из исходного состояния равновесия.

Расчеты на устойчивость предотвращают возмож­ность внезапной потери устойчивости и искривления длинных или тонких деталей. Примером потери устойчивости может служить внезапное искривление длинного прямолинейного стер­жня при сжатии вдоль оси.

На практике в большинстве случаев приходится иметь дело с конструкциями сложной формы, но их можно пред­ставить себе состоящими из отдельных простых элементов, например брусьев, пластин, оболочек и массивов.

Основным расчетным элементом в сопротивлении матери­алов является брус, т. е. тело, поперечные размеры которого малы по сравнению с длиной. Брусья бывают прямоли­нейные и криволинейные, постоянного и пере­менного сечения. В зависимости от их назначения в кон­струкции брусья называют колоннами, балками, стер­жнями.

Плоское сечение, перпендикулярное оси бруса, называется поперечным; сечение, параллельное оси бруса (прямолиней­ного), — продольным; остальные плоские сечения — нак­лонными.

При деформации тела под действием внешних сил внутри него возникают силы упругости, которые препятствуют деформации и стремятся вернуть частицы тела в первоначаль­ное положение. Силы упругости возникают в результате существования в теле внутренних сил молекулярного взаимо­действия.

В сопротивлении материалов изучают деформации тел и возникающие при этих деформациях внутренние силы.

После прекращения действия внешних сил вызванная ими деформация может полностью или частично исчезнуть. Способ­ность материала устранять деформацию после прекращения действия внешних сил называется упругостью. Деформация, исчезающая после прекращения действия внешних сил, называ­ется упругой; деформация, не исчезающая после прекращения действия внешних сил, называется остаточной или пласти­ческой. Способность материала иметь значительные остаточ­ные деформации, не разрушаясь при этом, носит название пластичности, а сами материалы называются пластич­ными. К числу таких материалов относятся низкоуглеродистая сталь, алюминий, медь, латунь и др.

Возникновение значительных остаточных деформаций в большинстве случаев приводит к нарушению нормальной работы конструкции и поэтому считается наруше­нием прочности (как и разрушение).

Материалы, обладающие весьма малой пластичностью, называются хрупкими. В отличие от пластичных хрупкие материалы разрушаются без заметных остаточных деформаций. К хрупким материалам относят чугун, твердые сплавы, стекло, кирпич и др.

В процессе работы машин и сооружений их узлы и детали воспринимают и передают друг другу различные нагрузки, т. е. силовые воздействия, вызывающие изменение внутренних сил и деформации узлов и деталей.

В зависимости от характера действия нагрузки подразде­ляют на статические и динамические. Статическими называются нагрузки, числовое значение, направление и место приложения которых остаются постоянны­ми или меняются медленно и незначительно. Динамическими называются нагрузки, характеризую­щиеся быстрым изменением во времени их значения, направле­ния или места приложения.

В процессе эксплуатации элементы конструкций испытывают следующие основные деформации:

1) растяжение; эту деформацию испытывают, канаты, тросы, цепи, шток протяжного станка;

2) сжатие; на сжатие работают, колонны, кирпичная кладка, пуансоны штампов;

3) сдвиг; деформацию сдвига испытывают заклепки, болты, шпонки, швы сварных соединений. Деформацию сдвига, доведенную до разрушения материала, называют срезом;

4) кручение; на кручение работают валы, передающие мощность при вращательном движении;

5) изгиб; на изгиб работают балки, оси, зубья зубчатых колес и другие элементы конструкций.

Конструкционные материалы, из которых изготовляют детали машин и сооружений, не являются, строго говоря, непрерывными, однородными во всех точках и изо­тропными (имеющими одинаковые свойства во всех напра­влениях). В процессе изготовления заготовок и получения из них готовых деталей в материале появляются различные, не поддающиеся учету поверхностные и внутренние дефекты, например раковины, трещины и неоднородность структуры в литых деталях, волосовины у штампованных деталей, первоначальные внутренние усилия, вызванные неравномер­ностью остывания литых и кованых деталей и т. д.

Так как закономерности возникновения указанных явле­ний установить невозможно, то в сопротивлении материа­лов принимается ряд гипотез и допущений, которые позво­ляют исключить из рассмотрения эти явления.

В виду ограниченного количества учебного времени на изучение ОП.02 «Техническая механика», основные гипотезы и допущения, касающихся физико-механических свойств матери­алов, а также гипотезы и допущения, связанные с де­формациями элементов конструкций, выносятся на самостоятельное изучение.

Метод сечений

Для расчетов деталей сооружений и машин на прочность необходимо знать внутренние силы упругости, возникающие в результате действия приложенных к деталям внешних сил. Для определения внутренних сил упругости применяют метод сечений.

Рис. 1. Иллюстрация метода сечений

Метод сечений:

1. Мысленно разрежем тело плоскостью на две части (рис. 1, а).

2. Отбросим любую часть тела и, так как тело должно оставаться в равновесии, взамен нее к сечению оставшейся части приложим внутренние силы Fi (рис. 1, б), действовавшие до разреза;

3. Оставленная часть рассматривается как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием внешних и приложенных к сечению внутренних сил.

4. Считают, что внутренние силы распределены равномерно, а их равнодейст­вующая равна N (рис. 1, в).

5. Составим уравнение равновесия сил, действующих на отсеченную часть бруса: F – ΣF_i = 0. Так как ΣF_i = N, то F – N = 0, откуда N = F.

Наряду с понятием деформации одним из ос­новных понятий сопроти­вления материалов явля­ется напряжение.

Рассмотрим какой-либо произвольно нагруженный брус и применим к нему метод сечений (рис. 2).

Рис. 2. Метод сечений для бруса

Выделим в сечении бесконечно малый элемент площади dА (что мы имеем право делать, так как считаем материал непрерывным). Ввиду малости этого элемента можно считать, что

в его пределах внутренние силы, приложенные в различных точках, одинаковы по модулю и направлению и, следовательно, представляют собой систему параллельных сил. Равнодействующую этой системы обозначим dF. Разделив dF на площадь элементарной площадки dА, определим интенсивность внутренних сил, т. е. напряжение р в точках элементарной площадки dА: p = dF/dA.

На­пряжение – это величина, которая характеризует интенсивность внутрен­них сил, действующих в сечении.

Разложим вектор напряжения р на две составляющие: s – перпендикулярную плоскости сечения и τ – лежащую в плоскости сечения (рис. 3). Эти составляющие назовем так: s – нормальное напряжение, τ – касательное напря­жение. Нормальное напряжение можно определить по формуле:

s = N/A,

где А – площадь поперечного сечения.

Напряжение согласно Меж­дународной системе единиц измеряется в Па (Н/м²), а на практике чаще используют Н/мм² или МПа.

Рассмотрим, каковы будут статические эквиваленты внутренних сил в по­перечном сечении бруса.

Рис. 3.

Рассечем брус (рис. 3) поперечным сечением а – а ирас­смотрим равновесие его левой части. Если внешние силы, действующие на брус, лежат в одной плоскости, то в общем случае статическим эквивалентом внутренних сил, действующих в сечении а – а, будут главный вектор F гл, приложенный в центре тяжести сечения, и глав­ный мо-

мент М _и, уравновешивающие плоскую систему внешних сил, приложенных к оставленной части бруса.

Разложим главный вектор на составляющую N, направлен­ную вдоль оси бруса, и составляющую Q, перпендикулярную этой оси, т. е. лежащую в плоскости поперечного сечения. Эти составляющие главно­го вектора вместе с главным моментом назовем внутренни­ми силовыми факторами, дей­ствующими в сечении бруса.

Составляющую N назовем продольной силой, составля­ющую Q – поперечной силой, пару сил М_и – изгибающим моментом.

Для определения указан­ных трех внутренних силовых факторов статика дает три уравнения равновесия оставленной части бруса (ось zвсегда направляем по оси бруса), а именно:

Σ Z = 0, Σ Y = 0, Σ M = 0

Рис. 4.

Если внешние силы, действующие на брус, не лежат в одной плоскости, т. е. представляют собой пространственную систему сил, то в общем случае в поперечном сечении бруса возникают шесть внутренних силовых факторов (рис. 4), для определе­ния которых статика дает шесть уравнений равновесия оставлен­ной части бруса, а именно:

 

Σ Х = 0, Σ Y = 0, Σ Z = 0, Σ M_х = 0, Σ M_у = 0, Σ M_z = 0

 

При разных деформациях в поперечном сечении бру­са возникают различные внутренние силовые факторы.

Рас­смотрим частные случаи:

1. В сечении возникает только продольная сила N. В этом случае это деформация растяжения (если сила N направлена от сечения) или деформация сжатия (если сила N направлена к сечению).

2. В сечении возникает только поперечная сила Q. В этом случае это деформация сдвига.

3. В сечении возникает только крутящий момент М_к. В этом случае это деформация кручения.

4. В сечении возникает только изгибающий момент М_И. В этом случае это деформация чистого изгиба. Если в сечении одновременно возникает изгибающий момент М_И и поперечная сила Q, то изгиб называют поперечным.

5. Если в сечении одновременновозникает несколько внутрен­них силовых факторов(например, изгибающий и крутящий моменты или изгибающий момент и продольная сила), то в этих случаях имеет ме­сто сочетание ос­новных деформа­ций.

Растяжение и сжатие

 

Растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только продольная сила.

Сжатие отличается от растяжения только знаком силы N: при растяжении нормальная сила N направлена от сечения, а при сжатии – к сечению.

Брусья с прямолинейной осью (прямые брусья), работающие на растяжение или сжатие, часто называют стержнями.

Рассмотрим невесомый, защемленный левым концом прямой брус, вдоль оси которого действуют активные силы F и 2F (рис. 5).

Рис. 5.

Части бруса постоянного сечения, заключенные между поперечными плоскостями, в которых приложены активные или реактивные силы, бу­дем называть участка­ми. Изображенный на рис. 5 брус состоит из двух участков. Применив метод сече­ний, определим продоль­ные силы N 1

и N₂ на участках. Рассечем брус на левом участке попе­речным сечением 1 – 1.

Во всех точках бруса будут действовать внутренние рас­пределенные силы, равнодействующая которых определится из условия равновесия одной из частей бруса (например, правой от сечения):

Σ Z = 0; 2 F – F – N ₁ = 0,

откуда

N ₁ =2 F – F = F

Нетрудно понять, что в сечении 2 – 2 на правом участке продольная сила будет иметь другое значение: N₂ = 2F. Таким образом, продольная сила в поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, расположенных по одну сторону сечения(имеется в виду, что все силы направлены вдоль оси бруса).

Если равнодействующая внешних сил, приложенных к левой части бруса, направлена налево, а приложенных к правой части – вправо, то продольная сила в данном сечении будет положительной, и наоборот.

При растяжении и сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечениюи вычисляемые по формуле

σ = N/А,

где N – продольная сила; А – площадь поперечного сечения. Очевидно, что при растяжении и сжатии форма сечения на напряжение не влияет.

Перейдем к рассмотрению деформаций.

Представим себе прямой брус постоянного поперечного се­чения A, длиной l, жестко защемленный одним концом и нагру­женный на другом конце растягивающей силой F (рис. 6).

Рис. 6.

Под действием этой силы брус удлинится на некоторую вели-чину Dl, которую назовем абсо-лютным удлинением. Отношение абсолютного удлинения Dl к первоначальной длине l назовем

относительным удлинением и обозначим e:

e = Dl/l

Относительное удлинение e – число отвлеченное, иногда его выражают в процентах: e% = (Dl/l)100

Итак, деформация бруса при растяжении и сжатии характе­ризуется абсолютным и относительным удлинением или уко­рочением.

Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука.

Закон Гука при растяжении и сжатии справедлив лишь в определенных пределах нагружения и формулируется так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению:

 

s = Еe

где Е – коэффициент пропорциональности, который характеризует жест­кость материала, т. е. его способность сопротивляться упругим деформациям растяжения или сжатия, и называется модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода.

Модуль упругости первого рода является физической констан­той материала; он определяется экспериментально и измеряется в одинаковых единицах: [ Е ] = [ s ]/[ e ] = Па.

Если в закон Гука вместо напряжения подставить s = N/А, а вместо деформации ε = Dl / l, то для стержня, у которого на длине l внутренняя нормальная сила постоянная и поперечное сечение не изменяется, получим выражение для опре­деления удлинения стержня:

 

Dl = Nl/ (Е А)

 

Приведенные выше формулы закона Гука применимы только для брусьев или их участков постоянного поперечного сечения, изготовленных из одного материала и при постоянной про­дольной силе.

Для бруса, имеющего несколько участков, отли­чающихся материалом, размерами поперечного сечения, продольной силой, изменение длины всего бруса равно алгебраической сумме удлинений и укорочений отдельных участков:

Dl = Σ(Dl_i)

 

При решении многих практических задач возникает необхо­димость наряду с удлинением, обусловленным напряжением а, учитывать также удлинения, связанные с температурным воз­действием. В виду ограниченного количества учебного времени на изучение ОП.02 «Техническая механика», расчет деформаций с учетом температурных воздействий, а также расчет поперечных размеров при растяжении или сжатии, выносятся на самостоятельное изучение.