Размещения.
Определение. Размещениями из m элементов по n элементов (n ≤ m) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами,либо порядком их расположения.
Число размещений из m элементов по n обозначают 
(от французского «arrangement» - «размещение») и вычисляют по формуле:
Пример 1. Решим задачу 1 с помощью этой формулы:
А теперь решим ту же задачу для случая m=8, n=3:
Перестановки.
Определение. Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n.
Число перестановок из n элементов обозначается 
и вычисляется по формуле:
Задача. Сколькими способами можно расположить в столбик три детали конструктора, различающиеся по цвету?
Ответ:6.
Сочетания.
Определение. Сочетаниями из m элементов по n элементов (n ≤ m) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.
Число сочетаний из n элементов по m обозначают 
(от французского «combination» - «сочетание») и вычисляют по формуле:
Пример 2. Решим задачу 2 с помощью этой формулы:
А теперь решим ту же задачу для случая m=8, n=3:
Снова, как и ожидалось, результат в первой задаче оказался больше, чем во второй.
Мы рассмотрели теоретические основы комбинаторики. Теперь перейдем к этапу закрепления новых знаний при решении задач.
Закрепление материала
Решение комбинаторных задач.
При решении комбинаторных задач важно научиться различать виды соединений.
Чтобы отличать задачи на подсчёт числа размещений от задач на подсчёт числа сочетаний, определим, важен или нет порядок в следующих выборках:
|
|
а) судья хоккейного матча и его помощник;
б) три ноты в аккорде;
в) «Шесть человек останутся убирать класс!»
г) две серии для просмотра из многосерийного фильма.
Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) да.
Задача 1. Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?
Ответ: 366.
Задача 2. Из 30 обучающихся группы надо выбрать старосту и помощника старосты. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 870.
Задача 3. Сколькими способами можно составить букет из трёх цветков, выбирая цветы из девяти имеющихся?
Ответ: 84.
Задача 4. В группе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
Ответ:21
Самостоятельная работа
Проверь себя
1. Определите вид соединений:
а) Соединения из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются __________ перестановки
б) Соединения из m элементов по n, отличающихся друг от друга только составом элементов, называются _______________ сочетания
в) Соединения из m элементов по n, отличающихся друг от друга составом элементом и порядком их расположения, называются _________ размещения
2. Восстановите соответствие типов соединений и формул для их подсчёта
| А.сочетания |
| В. размещения |
| С. перестановки |
3. Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать: а) двух дежурных; б) старосту и помощника старосты?
Ответ: а)276; б)552.
4. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл да косолапый Мишка задумали сыграть квартет». Сколькими способами они могут выбрать каждый для себя по одному инструменту из 10 данных различных инструментов?
|
|
Ответ: 
Подведение итогов самостоятельной работы
Самостоятельная работа.
1. Определите вид соединений:
а) Соединения из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются __________
б) Соединения из m элементов по n, отличающихся друг от друга только составом элементов, называются _______________
в) Соединения из m элементов по n, отличающихся друг от друга составом элементом и порядком их расположения, называются _________
2. Восстановите соответствие типов соединений и формул для их подсчёта
|
| А.сочетания | |
|
| В. размещения | |
|
| С. перестановки |
3. Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать:
а) двух дежурных;
б) старосту и помощника старосты?
Ответ: а) б)
4. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл да косолапый Мишка задумали сыграть квартет». Сколькими способами они могут выбрать каждый для себя по одному инструменту из 10 данных различных инструментов?
Ответ: