Конспект урока по теме «Элементы комбинаторики»
Цели:
Обучающие:
- формирование основных понятий комбинаторики: размещения из mэлементов по n, сочетания из m элементов по n, перестановки из n-элементов;
- формирование умений и навыков вычисления значений комбинаторных выражений по формулам, решения простейших комбинаторных задач;
Развивающие:
-развитие умения анализировать, обобщать изучаемые факты, выделять и сравнивать существенные признаки, выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия; контроль и оценка процесса и результатов деятельности;
Воспитательные:
-воспитание интереса к дисциплине, честности, аккуратности, эстетического отношения к оформлению математических решений, воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда; прививать чувство патриотизма.
Обучающийся должен:
знать:
-определения трех важнейших понятий комбинаторики:
- размещения из n элементов по m;
- сочетания из n элементов по m;
- перестановки из n элементов, а также, формулы вычисления их количества.
уметь:
- отличать задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» друг от друга;
- применять основные комбинаторные формулы при решении простейших комбинаторных задач.
ХОД УРОКА
Организационный момент.
Сообщение темы, целей урока.
Тема сегодняшнего урока «Основные понятия комбинаторики». Давайте вместе попробуем сформулировать цели урока
- ознакомиться с основными понятиями комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки)
- научиться решать простейшие комбинаторные задачи
Актуализация опорных знаний.
3.1. Исследовательская работа «Математика в профессии логист».
3.2. Прежде чем перейти к изучению нового материала, повторим то, что имеет к нему непосредственное отношение. Это уже известное вам понятие «факториал». Итак, кто помнит, что называют «n-факториалом»? Запишите формулу.
Чему, к примеру, равны 2!, 3!, 4!, 5!, 6!? А кто сможет показать вычисления на доске? А чему равен 1!? Какие значения в данном случае может принимать n?
Изложение нового материала.
Введение общих понятий
Комбинаторикой называют область математики, которая изучает вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов.
Комбинаторика – раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составляемой по заданным правилам.
Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями.
Различают три вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.
Задачи, в которых производится подсчет возможных различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся их решением, - комбинаторикой. Рассмотрим три основных вида соединений и формулы вычисления их количества. Для этого сначала рассмотрим 2 задачи, которые помогут нам сосредоточиться на сути новых понятий.
Создание проблемной ситуации.
Тексты двух задач на слайде:
Задача 1. Со склада в магазин требуется доставить товар на автомобиле-рефрижераторе в сопровождении экспедитора. Сколькими способами можно сформировать пару водитель и экспедитор из сотрудников Иванов, Петров, Сидоров, имеющих обе специальности.
Задача 2. Строительной фирме требуется доставить на объект навалочные грузы: песок и гравий. Для этих целей у компании-перевозчика есть три грузовых автомобиля с водителями Иванов, Петров, Сидоров. Сколькими способами можно организовать доставку.
Задача 3. Сколькими способами можно рассадить пассажиров Иванова, Петрова, Сидорова на заднем сиденье легкового такси.
Студентам предлагается два проблемных задания: 1) установить различие между этими двумя внешне схожими задачами и 2) предположить, в какой задаче результат будет больше, и почему. После этого предлагается решить эти задачи методом перебора всевозможных вариантов.
Решение задачи 1. AB, BA, BC, CB, AC, CA (всего шесть способов).
Решение задачи 2. AB, BC, AC (всего три способа).
Преподаватель обращает внимание студентов на то, что эти задачи оказались похожими только внешне, из-за того, что в обеих присутствуют два числа: m=3 – общее количество элементов и n=2 – количество выбранных элементов. Но в первой задаче составляются упорядоченные соединения, тогда как во второй задаче порядок следования элементов в соединении не имеет значения.
А если вместо чисел 3 и 2 будут например числа 8 и 3. Подойдет ли этот метод для решения этих задач? Поэтому существуют комбинаторные выражения (формулы) для этих соединений