1. Какую систему обыкновенных дифференциальных уравнений называют автономной?
Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной или динамической, если независимое переменное явно не входит в систему.
Общий вид автономной системы из уравнений в нормальной форме следующий:
или подробнее
.
2. Какова связь между фазовой траекторией автономной системы и соответствующей интегральной кривой этой системы?
Пусть есть решение автономной системы
тогда множество точек является кривой в пространстве . Эту кривую называют фазовой траекторией, а пространство , в котором расположены фазовые траектории – фазовым пространством автономной системы. Интегральные кривые системы изображаются в -мерном пространстве с координатами . Соответствующая фазовая траектория является проекцией интегральной кривой на фазовое пространство, параллельной оси .
3. Рассмотрим автономную систему из уравнений , для которой выполнены условия основной теоремы существования и единственности решения. Пусть функция, заданная в фазовом пространстве этой системы и непрерывно дифференцируемая там. Дать определение производной этой функции в силу автономной системы.
Производная функции определяется равенством
,
где – градиент функции . Производная в силу системы называется также производной по направлению векторного поля или производной Ли.
4. Пусть -- производная в силу системы и в некоторой области фазового пространства . Тогда функция не убывает (не возрастает) вдоль любой фазовой траектории системы, лежащей в области . Как называют функцию , если ее производная в силу системы тождественно равна нулю?
Функция называется первым интегралом автономной системы , если эта функция постоянна вдоль каждой траектории этой системы. Таким образом, если – решение системы, то функция при всех . Для того, чтобы функция была первым интегралом системы , необходимо и достаточно, чтобы ее производная в силу этой системы была равна нулю: .
5. Дать определение устойчивости по Ляпунову положения равновесия автономной системы.
Рассмотрим автономную систему из уравнений . Обозначим решение этой системы с начальными данными .
Положение равновесия называется устойчивым по Ляпунову, если:
· существует такое, что если , то решение существует при ;
· для всякого существует такое, что если , то при всех .
Это означает, что если в начальный момент времени изображающая точка находится достаточно близко к положению равновесия, то и во все последующие моменты времени, двигаясь по траектории, точка будет оставаться в близи положения равновесия.
6. Дать определение асимптотической устойчивости положения равновесия автономной системы.
Положение равновесия называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и если при достаточно малых .
Это означает, что если точку немного сдвинуть их положения равновесия, то она с ростом времени будет стремиться вернуться в положение равновесия.
7. Пусть автономная система имеет положение равновесия , т. е. . Каким образом можно заменой переменной свести исследование устойчивости положения равновесия этой системы к исследованию устойчивости начала координат другой системы, которую называют приведенной или, следуя Ляпунову, системой уравнений возмущенного движения.
Выполним замену переменной , где отклонение фазового вектора от положения равновесия . В новых переменных уравнение будет иметь вид и будет иметь положение равновесия , соответствующее положению равновесия исходной системы. При исследовании устойчивости положения равновесия его называют невозмущенным движением, вектор называют возмущением, а уравнение -- уравнением возмущенного движения.
8. При исследовании устойчивости положения равновесия автономной системы прямым методом Ляпунова рассматривают некоторые функции, не зависящие от времени, определенные в некоторой окрестности положения равновесия приведенной системы и обладающие непрерывными частными производными. В каких случаях такие функции называют знакоопределенными? В каких случаях такие функции называют знакопостоянными? В каких случаях такие функции называют знакопеременными?
Функция называется знакоопределенной (определенно-положительной или определенно отрицательной), если она при , где -- достаточно малое положительное число, может принимать значения только одного определенного знака и обращаться в нуль толькопри .
Функция называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она при , где -- достаточно малое положительное число, может принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при .
Функция называется знакопеременной, если в любой, сколь угодно малой, окрестности начала координат принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Например, функция -- определенно-положительная, а функция -- положительна.
9. Доказать знакоопределенность функции .
Разложим функцию в ряд в окрестности начала координат. Так как и , то
Таким образом
Применим критерий Сильвестра для определения положительной определенности квадратичной формы в разложении функции .
Для того чтобы квадратичная форма с вещественными коэффициентами была определенно-положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы ее коэффициентов были положительны.
В нашем случае и согласно критерию Сильвестра квадратичная форма -- определенно-положительна. Отсюда заключаем, что функция в малой окрестности начала координат определенно-положительна.
10. Сформулировать теорему Ляпунова об устойчивости невозмущенного движения и применить ее для исследования устойчивости положения равновесия системы
В качестве функции Ляпунова взять функцию .
Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию , производная которой в силу этих уравнений была бы знакопостоянной противоположного знака с , или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво.
Найдем производную функции в силу системы
.
Функция -- определенно-положительна, а ее производная -- отрицательная функция. На основании теоремы Ляпунова можно утверждать, что невозмущенное движение устойчиво.
11. Сформулировать теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости невозмущенного движения и применить ее для исследования устойчивости положения равновесия системы
В качестве функции Ляпунова взять функцию .
Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию , производная которой в силу этих уравнений была бы знакоопределенной функцией противоположного знака с , то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Квадратичная форма определенно-положительна. Это было установлено по критерию Сильвестра в ответе на вопрос с номером 20. Производная этой формы в силу системы имеет вид .
Для того чтобы квадратичная форма с вещественными коэффициентами была определенно-отрицательной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы ее коэффициентов последовательно меняли свой знак:
.
В нашем случае , т. е. – определенно-отрицательная функция относительно и , следовательно, и относительно и .
Функция -- определенно-положительна, а ее производная – определенно-отрицательная функция. На основании теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости можно утверждать, что невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
12. Сформулировать теорему Ляпунова о неустойчивости движения и применить ее к доказательству неустойчивости положения равновесия уравнения , выбрав в качестве функции Ляпунова .
Если дифференциальные уравнения возмущенного движения позволяют найти функцию , которая обладала бы в силу этих уравнений знакоопределенной производной и могла бы принимать в окрестности нуля значения одного знака с , то невозмущенное движение неустойчиво.
Производная функции в силу уравнения положительно-определена . Сама функция принимает положительные значения в сколь угодно малой окрестности положения равновесия (она – положительно определена). Следовательно, положение равновесия является неустойчивым.
13. Рассмотрим линейную автономную систему из уравнений . Эта система имеет положение равновесия . Так как такая система интегрируется, вопрос об устойчивости этого положения равновесия полностью исследован. Сформулировать необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости положения равновесия этой системы.
Положение равновесия системы асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда вещественные части всех собственных значений матрицы отрицательны.
14. Выше мы говорили об устойчивости положения равновесия автономной системы. Рассмотрим произвольное решение системы дифференциальных уравнений . Дать определение устойчивости этого решения по Ляпунову.
Решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любых и существует такое, что
· все решения системы , удовлетворяющие условию , определены в промежутке ;
· для этих решений справедливо неравенство при .
15. Дать определение асимптотической устойчивости решения системы дифференциальных уравнений.
Решение называется асимптотически устойчивым при , если
· это решение устойчиво по Ляпунову
· для любого существует такое, что из неравенства следует .
Если решение системы с непрерывной правой частью устойчиво для какого-нибудь фиксированного момента времени , то оно будет устойчивым для любого другого момента, т. е. будет устойчивым в смысле данного выше определения. Таким образом можно ограничиваться проверкой устойчивости решения лишь для некоторого начального момента .
16. Понятие приведенной системы или системы уравнений возмущенного движения применяется не только при исследовании устойчивости положения равновесия автономной системы, но и при исследовании устойчивости произвольного решения системы дифференциальных уравнений . Дать определение приведенной системы.
Пусть решение системы , устойчивость которого требуется исследовать (невозмущенное движение). Положим , т. е. есть отклонение решения от решения . Так как
,
то для для получаем дифференциальное уравнение
.
Так как , система имеет тривиальное решение , которое соответствует исходному (невозмущенному движению). Систему уравнений называют приведенной или системой уравнений возмущенного движения.
17. Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений
.
Показать, что все ее решения либо устойчивы, либо неустойчивы.
Пусть решение системы
,
устойчивость которого требуется исследовать (невозмущенное движение). Положим , т. е. есть отклонение решения от решения . Тогда
.
Приведенное уравнение имеет вид . Если положение равновесия этой однородной линейной системы устойчиво, то любое решение исходной системы устойчиво. Линейную систему называют устойчивой, если все ее решения устойчивы.
18. Найти решение задачи Коши
.
Исследовать устойчивость этого решения.
Найдем собственные значения матрицы системы. Они являются корнями характеристического полинома
.
Собственные числа и отрицательны. Следовательно любое решение этой системы асимптотически устойчиво.
Собственный вектор, отвечающий собственному числу , является решением алгебраической системы , т. е.
.
Можно взять ненулевое решение .
Собственный вектор, отвечающий собственному числу , является решением алгебраической системы , т. е.
.
Можно взять ненулевое решение .
Построим неособенную матрицу
и найдем обратную к ней
.
Решение начальной задачи можно теперь подсчитать следующим образом:
.