Восемнадцать вопросов и ответов по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений




1. Какую систему обыкновенных дифференциальных уравнений называют автономной?

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной или динамической, если независимое переменное явно не входит в систему.

Общий вид автономной системы из уравнений в нормальной форме следующий:

или подробнее

.

2. Какова связь между фазовой траекторией автономной системы и соответствующей интегральной кривой этой системы?

Пусть есть решение автономной системы

тогда множество точек является кривой в пространстве . Эту кривую называют фазовой траекторией, а пространство , в котором расположены фазовые траектории – фазовым пространством автономной системы. Интегральные кривые системы изображаются в -мерном пространстве с координатами . Соответствующая фазовая траектория является проекцией интегральной кривой на фазовое пространство, параллельной оси .

3. Рассмотрим автономную систему из уравнений , для которой выполнены условия основной теоремы существования и единственности решения. Пусть функция, заданная в фазовом пространстве этой системы и непрерывно дифференцируемая там. Дать определение производной этой функции в силу автономной системы.

Производная функции определяется равенством

,

где – градиент функции . Производная в силу системы называется также производной по направлению векторного поля или производной Ли.

4. Пусть -- производная в силу системы и в некоторой области фазового пространства . Тогда функция не убывает (не возрастает) вдоль любой фазовой траектории системы, лежащей в области . Как называют функцию , если ее производная в силу системы тождественно равна нулю?

Функция называется первым интегралом автономной системы , если эта функция постоянна вдоль каждой траектории этой системы. Таким образом, если – решение системы, то функция при всех . Для того, чтобы функция была первым интегралом системы , необходимо и достаточно, чтобы ее производная в силу этой системы была равна нулю: .

5. Дать определение устойчивости по Ляпунову положения равновесия автономной системы.

Рассмотрим автономную систему из уравнений . Обозначим решение этой системы с начальными данными .

Положение равновесия называется устойчивым по Ляпунову, если:

· существует такое, что если , то решение существует при ;

· для всякого существует такое, что если , то при всех .

Это означает, что если в начальный момент времени изображающая точка находится достаточно близко к положению равновесия, то и во все последующие моменты времени, двигаясь по траектории, точка будет оставаться в близи положения равновесия.

6. Дать определение асимптотической устойчивости положения равновесия автономной системы.

Положение равновесия называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и если при достаточно малых .

Это означает, что если точку немного сдвинуть их положения равновесия, то она с ростом времени будет стремиться вернуться в положение равновесия.

7. Пусть автономная система имеет положение равновесия , т. е. . Каким образом можно заменой переменной свести исследование устойчивости положения равновесия этой системы к исследованию устойчивости начала координат другой системы, которую называют приведенной или, следуя Ляпунову, системой уравнений возмущенного движения.

Выполним замену переменной , где отклонение фазового вектора от положения равновесия . В новых переменных уравнение будет иметь вид и будет иметь положение равновесия , соответствующее положению равновесия исходной системы. При исследовании устойчивости положения равновесия его называют невозмущенным движением, вектор называют возмущением, а уравнение -- уравнением возмущенного движения.

8. При исследовании устойчивости положения равновесия автономной системы прямым методом Ляпунова рассматривают некоторые функции, не зависящие от времени, определенные в некоторой окрестности положения равновесия приведенной системы и обладающие непрерывными частными производными. В каких случаях такие функции называют знакоопределенными? В каких случаях такие функции называют знакопостоянными? В каких случаях такие функции называют знакопеременными?

Функция называется знакоопределенной (определенно-положительной или определенно отрицательной), если она при , где -- достаточно малое положительное число, может принимать значения только одного определенного знака и обращаться в нуль толькопри .

Функция называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она при , где -- достаточно малое положительное число, может принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при .

Функция называется знакопеременной, если в любой, сколь угодно малой, окрестности начала координат принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Например, функция -- определенно-положительная, а функция -- положительна.

9. Доказать знакоопределенность функции .

Разложим функцию в ряд в окрестности начала координат. Так как и , то

Таким образом

Применим критерий Сильвестра для определения положительной определенности квадратичной формы в разложении функции .

Для того чтобы квадратичная форма с вещественными коэффициентами была определенно-положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы ее коэффициентов были положительны.

В нашем случае и согласно критерию Сильвестра квадратичная форма -- определенно-положительна. Отсюда заключаем, что функция в малой окрестности начала координат определенно-положительна.

10. Сформулировать теорему Ляпунова об устойчивости невозмущенного движения и применить ее для исследования устойчивости положения равновесия системы

В качестве функции Ляпунова взять функцию .

Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию , производная которой в силу этих уравнений была бы знакопостоянной противоположного знака с , или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво.

Найдем производную функции в силу системы

.

Функция -- определенно-положительна, а ее производная -- отрицательная функция. На основании теоремы Ляпунова можно утверждать, что невозмущенное движение устойчиво.

11. Сформулировать теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости невозмущенного движения и применить ее для исследования устойчивости положения равновесия системы

В качестве функции Ляпунова взять функцию .

Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию , производная которой в силу этих уравнений была бы знакоопределенной функцией противоположного знака с , то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

Квадратичная форма определенно-положительна. Это было установлено по критерию Сильвестра в ответе на вопрос с номером 20. Производная этой формы в силу системы имеет вид .

Для того чтобы квадратичная форма с вещественными коэффициентами была определенно-отрицательной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы ее коэффициентов последовательно меняли свой знак:

.

В нашем случае , т. е. – определенно-отрицательная функция относительно и , следовательно, и относительно и .

Функция -- определенно-положительна, а ее производная – определенно-отрицательная функция. На основании теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости можно утверждать, что невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

12. Сформулировать теорему Ляпунова о неустойчивости движения и применить ее к доказательству неустойчивости положения равновесия уравнения , выбрав в качестве функции Ляпунова .

Если дифференциальные уравнения возмущенного движения позволяют найти функцию , которая обладала бы в силу этих уравнений знакоопределенной производной и могла бы принимать в окрестности нуля значения одного знака с , то невозмущенное движение неустойчиво.

Производная функции в силу уравнения положительно-определена . Сама функция принимает положительные значения в сколь угодно малой окрестности положения равновесия (она – положительно определена). Следовательно, положение равновесия является неустойчивым.

13. Рассмотрим линейную автономную систему из уравнений . Эта система имеет положение равновесия . Так как такая система интегрируется, вопрос об устойчивости этого положения равновесия полностью исследован. Сформулировать необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости положения равновесия этой системы.

Положение равновесия системы асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда вещественные части всех собственных значений матрицы отрицательны.

14. Выше мы говорили об устойчивости положения равновесия автономной системы. Рассмотрим произвольное решение системы дифференциальных уравнений . Дать определение устойчивости этого решения по Ляпунову.

Решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любых и существует такое, что

· все решения системы , удовлетворяющие условию , определены в промежутке ;

· для этих решений справедливо неравенство при .

15. Дать определение асимптотической устойчивости решения системы дифференциальных уравнений.

Решение называется асимптотически устойчивым при , если

· это решение устойчиво по Ляпунову

· для любого существует такое, что из неравенства следует .

Если решение системы с непрерывной правой частью устойчиво для какого-нибудь фиксированного момента времени , то оно будет устойчивым для любого другого момента, т. е. будет устойчивым в смысле данного выше определения. Таким образом можно ограничиваться проверкой устойчивости решения лишь для некоторого начального момента .

16. Понятие приведенной системы или системы уравнений возмущенного движения применяется не только при исследовании устойчивости положения равновесия автономной системы, но и при исследовании устойчивости произвольного решения системы дифференциальных уравнений . Дать определение приведенной системы.

Пусть решение системы , устойчивость которого требуется исследовать (невозмущенное движение). Положим , т. е. есть отклонение решения от решения . Так как

,

то для для получаем дифференциальное уравнение

.

Так как , система имеет тривиальное решение , которое соответствует исходному (невозмущенному движению). Систему уравнений называют приведенной или системой уравнений возмущенного движения.

17. Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений

.

Показать, что все ее решения либо устойчивы, либо неустойчивы.

Пусть решение системы

,

устойчивость которого требуется исследовать (невозмущенное движение). Положим , т. е. есть отклонение решения от решения . Тогда

.

Приведенное уравнение имеет вид . Если положение равновесия этой однородной линейной системы устойчиво, то любое решение исходной системы устойчиво. Линейную систему называют устойчивой, если все ее решения устойчивы.

18. Найти решение задачи Коши

.

Исследовать устойчивость этого решения.

Найдем собственные значения матрицы системы. Они являются корнями характеристического полинома

.

Собственные числа и отрицательны. Следовательно любое решение этой системы асимптотически устойчиво.

Собственный вектор, отвечающий собственному числу , является решением алгебраической системы , т. е.

.

Можно взять ненулевое решение .

Собственный вектор, отвечающий собственному числу , является решением алгебраической системы , т. е.

.

Можно взять ненулевое решение .

Построим неособенную матрицу

и найдем обратную к ней

.

Решение начальной задачи можно теперь подсчитать следующим образом:

.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-09-16 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: