Вспомогательные результаты

Из (2) очевидным образом следует

Лемма 1. Пусть h(x) - SO-меняющаяся функция. Тогда для любого фиксированного и для любой функции достаточно медленно.

Определим последовательность соотношением .

Лемма 2. Пусть выполнено (3). Тогда

а) для любого x0 или достаточно медленно;

б) если целое число k фиксировано или целочисленная последовательность достаточно медленно, то .

Доказательство. Из определения an легко выводится, что

(4)

Из (4) и леммы 1 следует, что

(5)

Пункт а) доказан. Теперь докажем б). Пусть D0 - некоторая константа. Из (4) и леммы 1, аналогично (5), выводим для любого фиксированного k или достаточно медленно, что

.

Выбором достаточно большой константы можно добиться, что , откуда следует, что . Выбирая достаточно малую константу D = D2, получим, что . Таким образом, .

Лемма 3. Пусть - схема серий с.в. с конечными вторыми моментами, в каждой серии с.в. образуют стационарную последовательность, удовлетворяющую условию РСП с одним и тем же коэффициентом перемешивания причем . Пусть Tn,j , . Тогда

(6)

Доказательство. Первое неравенство в (6) доказано в предложении 3.3 из [4], а второе выведено в [3, лемма3.3].

Лемма 4. Для любого фиксированного k или достаточно медленно выполнено соотношение .

Доказательство. Схема доказательства приведена в [?, теорема 18.2.3].

Лемма 5. Пусть k = k(n) - целочисленная последовательность, достаточно медленно стремящаяся к бесконечности, и имеет место (3). Тогда

(7)

где при .

Доказательство. Для проведения оценки (7) используются идеи M. Пелиграда, предложенные в [4]. В силу пункта б) леммы 2 существует такая константа C0, что . Пусть - такая числовая последовательность, что и zn = o(Ck1/2). Тогда, имея в виду пункт а) леммы 2, легко видеть, что для

(8)

Из (8) выводим

где 0 - некоторая константа. Пользуясь пунктом а) леммы 2, нетрудно вычислить, что при .

Доказательство основного результата

В работе А.Г. Гриня [?] введено понятие универсальной нормирующей последовательности (УНП) . Там же доказана

4. Пусть - стационарная последовательность, удовлетворяющая условию РСП. Для того чтобы притягивалась к нормальному закону, достаточно, а если , и необходимо, чтобы при любом . Пусть k = k(n) - целочисленная последовательность, стремящаяся к бесконечности столь медленно, что одновременно справедливы леммы 2, 4, 5. Тогда, имея в виду еще и лемму 3, получаем

(9)

Вместе с определением УНП (9) означает, что и an2 = o(bn2). Пусть последовательность q = q(n) стремится к бесконечности столь медленно, что an2 = o(q-1bn2). Пользуясь пунктом а) леммы 2, имеем для любого

при . Согласно теореме 4, последовательность притягивается к нормальному закону. Теорема доказана.

Список литературы

Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965. 524 с.

Гринь А.Г. Об областях притяжения для сумм зависимых величин // Теория вероятн. и ее применен. 1990. Т. 35. N2. С. 255-270.

Peligrad M. An invariance principle for -mixing sequences. - Ann. Probab. 1985. V. 13. N4. Р. 1304-1313.

Peligrad M. On Ibragimov-Iosifescu conjecture for -mixing sequences // Stochastic Processes and their Applications. 1990. V. 35. P. 293-308.

Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985. 142 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта https://www.omsu.omskreg.ru/