Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием
С.А. Клоков, Омский государственный университет, кафедра математического анализа
Введение. Обозначения. Постановка задачи
Пусть 
- стационарная (в узком смысле) последовательность случайных величин (с.в.), 
, 
- 
-алгебры, порожденные семействами 
, 
. Говорят, что удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания (РСП), если коэффициент перемешивания
стремится к нулю при 
.
Как обычно, через 
обозначим дисперсию суммы 
, а через 
- нормальную с.в. с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Символы 
и 
обозначают сходимость по распределению и равенство распределений с.в., · - норму в L2, 1(A) - индикатор множества A. Через 
обозначим срезку 
, через 
- дисперсию суммы 
. Вместе с последовательностью будет рассматриваться последовательность 
таких с.в., что 
и независимы. В случае, если функции f и g связаны соотношением 
, где const - абсолютная константа, будем писать 
, а если и 
, то 
.
Будем считать известными определения правильно меняющихся и медленно меняющихся функций (см., например, [5]).
Говорят, что последовательность с.в. 
притягивается к нормальному закону, если при некотором выборе нормирующих констант An и 
имеет место соотношение 
, 
. В случае, если с.в. имеют конечные вторые моменты, дисперсия суммы и 
говорят, что к последовательности применима центральная предельная теорема (ЦПТ).
Первые предельные теоремы для слабо зависимых величин были доказаны И.А. Ибрагимовым в начале 60-х годов. Условие РСП дает возможность доказывать результаты о сходимости к нормальному закону без каких-либо предположений о скорости перемешивания (стремления 
к нулю). В этом случае будем говорить, что справедливо строгое притяжение к нормальному закону. В [?] доказана
Теорема 1. Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, 
, 
для некоторого 
и . Тогда к последовательности применима ЦПТ.
Для последовательности независимых одинаково распределенных с.в. ЦПТ справедлива, если потребовать существование лишь вторых моментов. Исходя из этого, в [1] высказана
Гипотеза (Ибрагимов, 1965).
Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, 
и 
. Тогда к последовательности применима ЦПТ.
Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных с.в., не имеющих вторых моментов. Тогда распределение 
принадлежит области притяжения нормального закона тогда и только тогда, когда функция 
является ММФ. Иосифеску сформулировал следующее предположение.
Гипотеза (Ибрагимов-Иосифеску).
Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП с 
, и H(x) - ММФ. Тогда притягивается к нормальному закону.
Гипотезы Ибрагимова и Ибрагимова-Иосифеску не доказаны и не опровергнуты до сих пор.
Хорошо известны два достаточных условия для медленного изменения H(x): существование конечного второго момента () и правильное изменение хвоста распределения одного слагаемого (
- ПМФ порядка -2). В работе [4] доказана
Теорема 2. Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, причем 
. Пусть , выполнено соотношение
(1)
где h(x) - ММФ. Тогда 
притягивается к нормальному закону.
В настоящей работе показано, что теорема 2 остается справедливой, если на функцию h(x) из (1) наложить более слабое ограничение, чем медленное изменение. В монографии Е.Сенеты предложено обобщение понятия ММФ. Функция h(x) называется SO-меняющейся [3], если существуют такие положительные постоянные C1 и C2, что для всех 
выполнено
(2)
Очевидно, что ММФ h(x) удовлетворяет (2), но не наоборот. Примерами SO-меняющихся функций могут служить любые функции, отделенные от нуля и от бесконечности. Таким образом, введенное расширение класса ММФ является нетривиальным.
Основным результатом работы является обобщение теоремы 2:
Теорема 3. Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, и выполнено соотношение
(3)
где h(x) - SO-меняющаяся функция. Тогда притягивается к нормальному закону.
Обобщение результата M. Пелиграда стало возможным благодаря уточнению доказательства теоремы 2, данного в работе [4].