Лекция № 12.
Теорема импульса.
Пусть имеется некоторый поток жидкости в сужающемся канале с расходом между сечениями (1-1) и (2-2) равным Q. Движение считаем установившимся. За время dt этот участок переместится в положение, определяемое сечениями (1’-1’) и (2’-2’). Канал – неподвижный и недеформируемый.
Будем считать, что:
1) жидкость несжимаема;
2) движение установившееся;
3) имеем одномерную модель потока с равномерным распределением скоростей по сечению.
Т.к. от сечения (1-1) до сечения (2-2) произошло изменение скоростей, то изменилось и количество движения (импульс сил), т.е. на поток действовали силы.
Обозначим: К – количество движения; ΣР – сумма всех внешних сил;
Тогда, dK = ΣP∙dt; где или
. Так как,
, то получаем:
- теорема импульса, где ρQυ –секундное количество движения потока в данном сечении.
Приращение секундного количества движения потока в канале равно сумме действующих на него внешних сил.
Внезапное расширение канала.
Характер протекания процесса:
1) Происходит инерционный отрыв на кромке, образованной уступом.
2) Постепенное растекание струи (поток отрывается от стенок канала, но расширяется постепенно).
3) Образование вихревой или водоворотной зоны, т.к.в сечении 1’ р1’ > р1 => у стенок жидкость течёт в другую сторону.
На участке (1-1’) проявляются два вида движения – циркуляционное (частицы движутся по замкнутому контуру) и транзитное (частицы движутся прямо).
4) На участке стабилизации потока происходит размывание вихрей и выравнивание осреднённых скоростей (здесь происходит интенсивный переход энергии в тепло).
5) Выравнивание скоростей приводит к изменению давлений (т.е. р2 > р1) и к уменьшению количества движения потока.
|
6) Стабилизация потока происходит на длине – L ≈ 10∙d2.
При расчёте потока будем использовать следующие соотношения:
I. Уравнение постоянства расхода - .
II. Уравнение сохранения энергии (уравнение Бернулли):
z1 = z2 = 0 (т.к. плоскость отсчёта совпадает с осью); α1 = α2 = 1 (турб. режим), тогда
(1)
III. Теорему импульса: .
При учёте всех внешних сил Р имеем ввиду, что есть нормальные силы (обусловлены действием внутренней поверхности канала на жидкость) и силы трения (из-за наличия касательных напряжений).
Ввиду малости – силами трения пренебрежём:
- так как участок деформации потока относительно мал;
- имеется взаимная компенсация τ1 и τ2.
В дальнейшем будем оперировать только силами давления, причём сила Р1 равна: Р1 =р1∙F2. Тогда
или
.
Разделим обе части равенства на , получим:
- формула справедлива лишь для турбулентного режима.
Из уравнения (1), принимая во внимание полученную формулу, получаем:
В итоге имеем:
- Формула Борда.
Потеря напора при внезапном расширении русла равна скоростному напору, определённому по разности скоростей до и после расширения.
С учётом ур. неразр., что скорость в широком сечении равна: , имеем:
, т.е.
,
где ζвр1 – коэффициент потерь напора при внезапном расширении канала.
Через скорость в узком сечении , получим:
, т.е.
,
где ζвр2 – коэффициент потерь напора при внезапном расширении канала.
Частный случай. В случае истечения жидкости из ограниченного объёма в неограниченный объём (т.е. F2 ® ¥, υ2 ® 0), имеем:
|
, так как
.
Диффузоры.
Местное сопротивление, при котором труба постепенно расширяется, называется диффузором.
Течение жидкости в диффузоре сопровождается уменьшением скорости и увеличением давления, происходит преобразование кинетической энергии жидкости в энергию давления.
Слои жидкости, прилегающие к стенкам, обладают столь малой кинетической энергией, что подчас оказываются не в состоянии преодолевать повышенное давление, поэтому они останавливаются или даже начинают двигаться обратно (вид А на рисунке).
Основной поток наталкивается на эти противотоки, возникают вихреобразования и отрыв потока от стенки:
Вид А:
Интенсивность этих явлений возрастает с увеличением угла расширения диффузора.
Основная задача при проектировании и эксплуатации потока обеспечить безотрывное движение жидкости на длине L.
В хорошем диффузоре гидравлические потери напора на порядок меньше, чем при внезапном расширении. Потери напора в диффузоре равны сумме потерь на трение и потерь, обусловленных расширением потока:
,
где hтр – потери напора на преодоление трения по длине диффузора;
hрасш – потери напора при расширении потока.
Однако, часто за основу определения потерь напора в диффузоре, принимают формулу Борда:
, где φдиф – безразмерный коэффициент сопротивления диффузора.
Коэффициент диффузора φдиф определяется экспериментально и зависит главным образом от:
- угла раскрытия Ө°;
- от отношения площадей ;
- относительной гладкости .
График зависимости коэффициента диффузора - φдиф= f (Ө) имеет следующий вид:
|
На графике имеем:
- участок А – в потоке доминируют потери на трение (п ри увеличении угла раскрытия диффузора Ө° - уменьшается L и уменьшаются потери.
- участок В - нарастают потери из-за отрыва, вихреобразования и удара;
- участок С - полный отрыв, т.е. х ≈ 0.
На практике в целях сокращения длины диффузора при заданном отношении обычно принимают: Өопт = 6° - 8°, а φдиф.мин= 0,1 – 0,2.
Диффузор устанавливают для уменьшения потерь, возникающих при переходе от меньшего диаметра трубы к большему.