Системы компьютерной математики (математические пакеты)
Еще недавно для решения математических задач пользователь должен был не только разбираться в математике, но и освоить язык программирования (и не один), знать сложные численные методы. Сейчас разработаны математические пакеты, которые позволяют решать различные математические задачи.
Ранние математические пакеты были ориентированы только на численные расчеты, для чего использовались возможности развитых численных методов. Но применение численных методов имеет ряд недостатков. Это, прежде всего, нахождение только частных решений и некоторая погрешность вычислений.
Высочайшим достижением стали системы компьютерной математики, выполняющие аналитические (символьные) преобразования. Еще недавно это было фантастикой. Аналитические методы решения задач дают общие (формульные) результаты и без погрешностей. Поэтому сейчас системы аналитических вычислений – наиболее интересное и развивающееся направление компьютерной математики.
Современные системы компьютерной математики обеспечивают и численные и символьные вычисления.
Спектр задач, решаемых подобными системами, очень широк:
- проведение математических исследований, требующих вычислений и аналитических выкладок;
- разработка и анализ алгоритмов;
- математическое моделирование и компьютерный эксперимент;
- анализ и обработка данных;
- визуализация, научная и инженерная графика;
- разработка графических и расчетных приложений.
Структура систем компьютерной математики
Каждая система может иметь нюансы в своей архитектуре, но можно выделить общую структуру (рис. 4.52).
Рис. 4.52.
Ядро – центральное место (главная часть) компьютерной системы. Представляет собой множество заранее откомпилированных (переведенных в машинные коды) функций и процедур, которые обеспечивают вычисление основных математических функций и операторов системы. Здесь же хранятся тысячи правил преобразования математических выражений. Ядро тщательно оптимизировано, так как от скорости его работы зависит скорость вычислений (для этого и производится предварительная компиляция). Доступ пользователя в ядро исключен. Объем ядра достигает нескольких мегабайт.
Интерфейс – дает пользователю возможность обращения к ядру со своими запросами и получать результат решения. В современных системах компьютерной математики интерфейс базируется на средствах ОС Windows и обладает практически всеми стандартными возможностями.
Библиотеки – нельзя все вычисляемые функции и процедуры включить в ядро. Хотя они выполняются быстрее, но увеличивается время на поиск нужной функции. В библиотеке помещаются не часто используемые процедуры и функции. Их можно модернизировать и расширять.
Пакеты расширений – расширяют возможности системы и их адаптацию к решаемым конкретным пользователем задачам. Они пишутся на языке программирования системы, что делает возможным их подготовку обычным пользователем.
Справочная система – получение оперативной информации, касающейся работы с системой.
Команды главного меню
Обычно главное меню систем компьютерной математики включает следующие команды.
Author – ввод пользователем исходной задачи.
Build – построение математических выражений из имеющихся фрагментов.
Calculus – вычисление.
Declare – объявление переменных, векторов, матриц и функций.
Expand – раскрытие выражения, перемножение его членов, упорядочение по степеням.
Factor – разложение на простые множителя чисел и выражений.
Solve – решение уравнений.
Simplify – упрощение выражений.
Approx – приближенное вычисление выражений.
Особенности работы с математическими пакетами
Современный уровень развития компьютерной алгебры не исключает отказа от выполнения символьных вычислений (система возвращает исходное выражение). Многие преобразования имеют ограниченную область применения. Поскольку при упрощении выражений система, должна выполнять только корректные преобразования, компьютеру может потребоваться квалифицированная помощь: подсказать направление дальнейших преобразовании, сузить класс значений параметра. Поэтому во многих системах имеются средства указания областей определения переменных.
Результаты некоторых преобразований выглядят неожиданными. Такие сюрпризы могут быть связаны с неоднозначностью функций, их взаимозаменяемостью и главным образом – с вынужденной стандартизацией методов решения. Именно поэтому системы компьютерной математики не могут справиться с отдельными задачами, решения которых вошли в широко известные справочники. Это объяснимо: красивые нестандартные решения копились сотни лет и иногда достигались весьма искусственными приемами. Поэтому, например, при сравнении результата интегрирования с табличным, следует иметь в виду возможность эквивалентных преобразований и различного представления констант. В таких случаях нужно получить разность интегралов, упростить ее и убедиться в том, что эта разность не зависит от переменной интегрирования.
Результатом символьного решения дифференциальных уравнений в общем случае является уравнение, связывающее зависимую и независимую переменные. Полезно выполнить его дифференцирование и затем контрольную подстановку.
При решении нелинейных уравнений и систем уравнений обычно требуется указание начальных приближений или области нахождения корней. И первом случае, как правило, находится единственное решение, в «области притяжения» которого оказалось исходное приближение, и для получения нового решения требуется сменить исходную точку. Если возможны комплексные корни, то, по крайней мере, одно приближение должно быть комплексным. Во втором за одно обращение возможно получение нескольких решений, но можно остаться ни с чем, поскольку процесс при выходе из указанной области завершается аварийно. «Свободный» поиск не имеет этих недостатков, но идет дольше и может завершиться отказом по исчерпанию предельного числа шагов. Во многих пакетах имеется возможность применить для решения системы несколько процедур, различающихся способами подготовки исходных данных.
В математических пакетах, конечно же, есть ошибки, как на концептуальном уровне, так и на уровне программной реализации. Поэтому необходимо критически относится к полученным результатам и осуществлять проверку.Такие возможности может дать только знание математики.