Числовые характеристики ДСВ

Если закон распределения установлен, то он полностью характеризует случайную величину. Однако на практике установить закон распределения бывает непросто. В этом случае часто используют числовые характеристики случайной величины, которые дают некоторое ocpeдненное описание случайной величины.

Математическое ожидание ДСВ

Пусть ДСВ X имеет закон распределения:

Математическим ожиданием (МО) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значении на их вероятности:

(6)

Из этого определения следует, что МО есть некоторая постоянная неслучайная величина. Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближенно равно среднему арифметическому значению случайной величины. МО в точности совпадает со средним арифметическим, если все вероятности значений ДСВ в формуле (6) равны, а именно,

Основные свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины С равно С:

M (С) = С (7)

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М (сХ) = сМ (Х) (8)

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

М (Х₁ + Х₂ + … + Х_m) = М (Х₁) + М (Х₂) + … + М (Х_m) (9)

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

М (Х₁ Х₂ … Х_m) = М (Х₁) М (Х₂) … М (Х_m) (10)

Пример 5. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в автосалоне составляют в среднем 120 тыс. ден. ед., а число продаж Х автомашин в течение дня подчиняется закону распределения

Найти МО ежедневной прибыли при цене машины в 150 тыс. ден.ед.

Решение. Очевидно, что ежедневная прибыль подсчитывается по формуле:

П = 150 Х – 120

Искомое МО находится с использованием указанных ранее свойств математического ожидания (в тыс. ден. ед.):

М (П) = М (150 Х – 120) = 150 М (Х) – 120 = 150 ^. 2,675 – 120 = 281,25

Дисперсия ДСВ

Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением:

X – М (X).

Дисперсией или рассеянием называется математическое ожидание квадрата отклонения:

D (X) = M (X – M (X))²(11)

Формула дисперсии в развернутом виде:

D (X) = (x₁ – M (X))² p₁ + (x₂ – M (X))² p₂ +...

…+ (x_n– M (X))² p_n (12)

При вычислении дисперсии удобно воспользоваться формулой, которая непосредственно выводится из формулы (11):

D (X) = M (X ²) –M² (X) (13)

Из формулы (13) следует, что дисперсия вычисляется по правилу: математическое ожидание квадрата минус квадрат математического ожидания СВ.

Пример 6. Найти дисперсию ежедневной продажи числа автомашин по данным примера 5.

Решение. Закон распределения случайной величины X ²имеет вид:

Математическое ожидание М (X ²)подсчитывается из этой таблицы:

М (X ²) = 0^, 0,25 + 1^, 0,2 + 4^, 0,1 + 9^, 0,1 + 16^, 0,1 + 25^, 0,1 + 36^, 0,05 + 49^{, ,}0,05 + 64^, 0,025 + 81^, 0,025 = 13,475.

Математическое ожидание М (X)= 2,675. Следовательно, согласно формуле (13), получаем искомую величину дисперсии:

D(X) = M (X ²) – M² (Х) = 13,475 – 7,156 =6,319

Основные свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D (С)= 0 (14)

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D (С X) = С²D (X)(15)

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D (Х₁ + Х₂ + … + Х_n) = D (Х₁) + D (Х₂) + … + D (Х_n)(16)

Из свойств 1 и 3 следует важный вывод:

D (X + С) = D (X),

где С — постоянная величина. Кроме того, дисперсия числа появления события А в п независимых испытаниях с вероятностью появления р в каждом из них этого события вычисляется по формуле

D (X) = пр (1 – р) = прq (17)

Отметим следующий важный результат: для случайной величины, распределенной по закону Пуассона (5), математическое ожидание и дисперсия равны параметру λ данного распределения. Итак,

если ДСВ Х распределена по биномиальному закону, то

M (X) =np, D (X) =npq

если ДСВ Х распределена по закону Пуассона, то

M (X) =λ, D (X) =λ