Случайные величины
1. Понятие случайной величины
2. Дискретные случайные величины
· Закон распределения ДСВ
· Числовые характеристики ДСВ
· Основные распределения ДСВ
3. Непрерывные случайные величины
· Функция и плотность распределения НСВ
· Числовые характеристики НСВ
· Основные распределения НСВ
Понятие случайной величины
Случайной величиной (СВ) называется такая величина, которая в результате испытания принимает заранее неизвестное и зависящее от различных случайных причин лишь одно возможное значение.
Каждой случайной величине соответствует некоторое множество значений, которые она может принимать. Обычно случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита X,Y, …, а принимаемые ими значения, соответственно, малыми буквами x1, x2, …, xm; y1, y2, …, yn. Например, X - число мальчиков среди 100 новорожденных — это случайная величина, которая может принимать целые значения от 0 до 100, Y – число очков при бросании игральной кости – случайная величина, которая может принимать значения от 1 до 6. Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.
Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений.
Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется случайная величина, принимающая несчетное, континуальное множество значений.
Примеры ДСВ: число выстрелов до первого попадания в цель, число пассажиров на остановке автобуса, количество бракованных деталей в отобранной партии и т.д.
Примеры НСВ: время безотказной работы прибора, температура воздуха в определенный момент времени, курс доллара по отношению к рублю, прибыль фирмы и т.д.
Более строгое определение СВ базируется на теории множеств. А именно, СВ – это числовая функция, определенная на ПЭС (пространстве элементарных событий) Ω и такая, что каждому элементарному событию ω она ставит в соответствие некоторое число Х, т.е. Х=Х (ω).
Пусть опыт заключается в подбрасывании монеты 2 раза. Тогда ПЭС состоит из 4 элементарных событий:
Ω= {ω1, ω2, ω3, ω4}.
А именно,
ω1=ГГ, ω2=ГР, ω3=РГ, ω4=РР,
где Г – герб, а Р – решка.
Пусть Z – число появлений решки в данном опыте. Тогда
Z (ω1)=0, Z (ω2)=1, Z (ω3)=1, Z (ω4)=2
или, короче,
Z ={0, 1, 2}.
Таким образом, эта СВ принимает 3 возможных значения.
Дискретные случайные величины
Закон распределения ДСВ
Ясно, что для полного описания СВ знания ее возможных значений недостаточно. Необходимо знать: как часто появляются те или иные значения СВ, т.е. необходимо знать вероятности этих значений. Так, в рассмотренном выше примере вероятности значений, очевидно, таковы: 0,25, 0,5, 0,25. Соответствие между значениями ДСВ и их вероятностями удобно оформлять в виде таблицы:
| Z | 0 1 2 |
| P | 0,25 0,5 0,25 |
В общем случае закон распределения ДСВ имеет следующий вид:
| X | x1 x2 x3 … xn |
| P | p1 p2 p3 … pn |
Законом распределения ДСВ называют соответствие между отдельными возможными значениями и их вероятностями.
Поскольку в одном испытании случайная величина принимает только одно возможное значение, то события
X = x1, Х = x2,..., X = xn
образуют полную группу, т.е. сумма их вероятностей равна единице:
p1 + p2 + … + pn =1 (1)
Если множество возможных значений ДСВ Х бесконечно, то соответствующий ряд вероятностей сходится и его сумма равна единице:
p1 + p2 + … + pn + … =1 (2)
Основные распределения ДСВ
Биномиальное распределение
Пусть производится п независимых испытании, в каждом из которых событие А может либо появиться, либо не появиться. Пусть также вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна. В качестве ДСВ X рассмотрим число появлений события А вэтих п испытаниях. Очевидно, что
x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2,..., xn = п.
Вероятности этих (n+1) возможных значений вычисляются по формуле Бернулли:
(3)
где q=1–р - вероятность противоположного события, т.е. непоявления события А водном испытании.
Распределение случайной величины - числа появления события А в п независимых испытаниях, называется биномиальным распределением.
Формула (3) представляет собой аналитическую форму биномиального закона распределения СВ. Правая часть в формуле (3) представляет собой общий член разложения бинома Ньютона. Используя эту формулу, можно составить таблицу биномиального распределения.
Можно показать также, что сумма всех вероятностей биномиального распределения равна единице, т.е.
(4)
Пример 2. Банк выдает 5 кредитов. Вероятность невозврата кредита равна 0,2 для каждого из заемщиков. Составить таблицу закона распределения числа заемщиков Х, не вернувших кредит по окончании срока кредитования.
Решение. Примем за А событие - невозврат кредита. Так как заемщики действуют независимо, то выдачу кредитов можно считать как п = 5 независимых событий. Вероятность невозврата k кредитов из 5 описывается биномиальным распределением (3), где р = 0,2, q = 0,8, а параметр k принимает значения от 0 до 5. Используя формулы для расчета 
, получаем:
| X | 0 1 2 3 4 5 |
| P | 0,3277 0,4096 0,2048 0,0512 0,0064 0,0003 |
Распределение Пуассона
Пусть в каждом из п производимых испытаний вероятность появления события А равна р. Для случая малых значений р и больших значений п используется асимптотическая формула Пуассона. Эта формула выведена при важном допущении, что произведение пр является постоянной величиной, т.е. пр = λ.
Вероятность того, что событие А наступит ровно k раз, выражается формулой, которая представляет собой закон распределения Пуассона вероятностей массовых и редких событий
(5)
Пример 3. Набазу отправлено 10 000 изделий. Вероятность того, что изделие в пути получит повреждение, равна 0,0003. Найти вероятность того, что на базу прибудут 4 поврежденных изделия.
Решение. По условию задачи п = 10 000, р = 0,0003, k = 4. Находим параметр λ, а затем по формуле (5) и искомую вероятность:
λ = пр = 10 000 . 0,0003 = 3,
