Пример интегрирования сигналов

Лабораторная работа №2

 

Исследование характеристик интегрирующей цепи

 

1. Цель работы: овладение методами измерения основных характеристик линейной цепи (звена).

Теоретические основы

 

Интегрирующей называется электрическая цепь, в которой выходная величина пропорциональна интегралу от входной величины (рис. 1, а, б).

Рис. 2.1 Простейшие интегрирующие цепи

 

Широкое применение на практике получила интегрирующая rC -цепь.

Простейшей пассивной линейной интегрирующей цепью является чeтыpexпoлюcник, состоящий из RC - элементов.

Рис. 2.2 Выходное напряжение на емкости

При подаче прямоугольного импульса с идеальными фронтами на интегрирующую RC цепь выходное напряжение нарастает по экспоненциальному закону: , где τ =RC.

Используя разложение функции в ряд Маклорена, получим:

Ограничившись первыми тремя членами разложения, получим:

Первый член описывает U_вых(t) при идеальном интегрировании, второй - значение ошибки интегрирования. Эта ошибка имеет наибольшее значение при t = t_и

К моменту окончания импульса выходное напряжение достигает значения

а затем по экспоненциальному закону убывает до нуля с постоянной времени τ.

Следовательно, простейшие RC-цепочки мало применяют для точного интегрирования входных сигналов.

Окончательная погрешность интегрирования при t = t_и

 

Условие интегрирования

 

Напряжение на выходе

Если напряжение на емкости составляет малую часть от напряжения на сопротивлении, то ток i(t) в цепи будет пропорционален входному напряжению:

следовательно,

Итак, при выполнении условия или (1) цепь rC является интегрирующей.

Условие (1) для гармонического сигнала с частотой ωможно записать

 

На практике принимается

При несинусоидальном сигнале условие должно выполняться для гармонической составляющей наименьшей частоты ω_H, т.е. частоты повторения входного сигнала.

Для интегрирующей цепи:

Комплексный коэффициент передачи: , здесь t = RC

При . Деление в спектре на “jω” означает интегрирование сигнала. Интегрирующая цепь является простейшим фильтром низких частот с полосой пропускания .

АЧХ:

ФЧХ:

 

Импульсную характеристику можно найти через передаточную функцию с помощью обратного Фурье-преобразования: _.

Рис. 2.3 АЧХ и ФЧХ (а) интегрирующей цепи (б)

Рис. 2.4 АФЧХ интегратора.

 

Интегратор ослабляет высокие частоты пропорционально частоте и неограниченно усиливает низкие частоты. Фазовый сдвиг постоянен: -p/2. Годограф расположен вдоль отрицательной мнимой оси. Фазовый сдвиг равен -p/2, а радиус - вектор АЧХ при изменении частоты от 0 до ¥ монотонно убывает от значения ¥, стремясь к 0. Коэффициент усиления бесконечно малых частот неограничен (теоретически).

 

Пример интегрирования сигналов

В качестве примера рассматривается выходное напряжение интегрирующей rC -цепи при воздействии на вход прямоугольного импульса (рис. 2.5,а).

Рис. 2.5 Выходное напряжение на емкости в интервале времени от t ₁ до t ₂ изменяется по закону

Максимальное напряжение на выходе

При условии, что постоянная времени τ цепи больше длительности входного импульса, выходное напряжение на участке t ₁ - t ₂ меняется почти по линейному закону, т.е. выходное напряжение является интегралом входного напряжения прямоугольной формы.

Следует отметить, что чем больше τ, тем точнее выполняется операция интегрирования (закон линейности), но выходное напряжение по величине значительно меньше входного (рис. 2.5, в).

Время t_{u вых} измеряется на уровне 0,1 U_{m вых}, как это показано на рис.2.5, б и в. Эта цепь называется еще удлиняющей, потому что длительность импульса на выходе получается больше длительности входного импульса.

 

1. Порядок выполнения работы

3.1. К входу интегрирующей цепи подключить генератор синусоидального напряжения, к выходу – осциллограф (рис. 3.1) и снять амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) цепи, т.е. зависимость коэффициента передачи цепи от частоты входного сигнала. Отсчеты частоты рекомендуется брать в логарифмическом масштабе. Построить АЧХ.

 

 

Рис. 3.1 Схема установки для снятия частотных характеристик интегрирующего звена

 

3.2. Собрать установку по схеме, приведенной на рис.3.2. С выхода инт. звена подать сигнал на Y–пластины осциллографа, а входной сигнал – на X-пластины осциллографа. Снять фазово-частотную характеристику (ФЧХ) звена. Фазовый сдвиг между входным и выходным напряжением звена определяется по параметрам эллипса на экране осциллографа (рис.3.3)

 

Рис. 3.2 Схема установки для снятия фазово-частотных характеристик интегрирующего звена

 

Перед измерением фазы необходимо выровнять амплитуды сигналов, подаваемых на Y- и X-пластины осциллографа. Для этого убирается сигнал с Y-пластин. На экране осциллографа образуется горизонтальная линия. Запоминается ее размер в делениях осциллографической сетки. Затем убирается сигнал с X-пластин и подводится сигнал с выхода звена к Y-пластинам осциллографа. На экране образуется вертикальная линия. Ручкой «регулировка усиления по вертикали» добиваются, чтобы размер вертикальной линии был одинаков с ранее наблюдаемой горизонтальной. После этого восстанавливается схема измерения, приведенная на рис.3.2, и определяется сдвиг фазы по параметрам эллипса А и В: .

Следует проводить фазовые измерения на тех же частотах, на которых измерялся коэффициент передачи звена при снятии частотной характеристики. По полученным результатам построить фазовою характеристику линейного звена, т.е. зависимость фазового сдвига φ между входным и выходным сигналом от частоты, а по АЧХ и ФЧХ – построить годограф.

Рис. 3.3 Определение фазового сдвига между входным и выходным напряжением звена

 

3.3. Собрать схему установки, приведенной на рис.3.4. На вход линейного звена подать прямоугольные импульсы с генератора импульсов и с помощью осциллографа наблюдать характер переходного процесса на выходе цепи. Зарисовать полученные осциллограммы и замерить параметры переходного процесса.

 

 

Рис. 3.4 Схема установки для снятия переходных характеристик интегрирующего звена

 

Содержание отчета

1. Титульный лист установленного образца с наименованием работы.
2. Цель работы.
3. Функциональные схемы лабораторной установки.
4. Основные формулы исследуемых характеристик.
5. Таблицы измерений.
6. Графики или осциллограммы измеренных зависимостей.
7. Выводы по работе.

Вопросы для проверки

 

1. Что такое интегрирующая цепь?
2. Запишите для интегрирующего звена:

а) передаточную функцию К(р)

б) дифференциальное уравнение

в) комплексный коэффициент передачи K(jω)

г) модуль комплексного коэффициента передачи A(ω)=|K(jω)|

д) фазовую характеристику

е) импульсную и переходную характеристики.

3. Построить графики A(ω), φ(ω), годограф, h(t), g(t), для интегрирующего звена