Трехшарнирные системы
Трехшарнирная система состоит из двух дисков, соединенных между собой шарниром (С) и прикрепленных шарнирами (А и В) к земле.
1) 2)
Если диски I и II представляют собой криволинейные брусья, то такая система называется трехшарнирной аркой. Если дисками I и II являются ломаные стержни, то система называется трехшарнирной рамой.
Шарниры А и В называются опорными или пятовыми шарнирами, С - ключевой шарнир.
Расстояние между опорными шарнирами АВ по горизонтали называется пролетом арки или рамы. Расстояние от ключа до линии, соединяющей опорные шарниры, называется стрелой подъема арки f.
Если - пологие арки
- повышенные арки
Трехшарнирные системы являются статически определимыми системами, так как:
W = 3D - 2Ш0 - Соп = 3·2 - 2·1 - 4 = 0
и геометрически неизменяемыми.
Трехшарнирные системы - это распорные системы, так как в их опорах, даже при отсутствии вертикальной нагрузки, возникают горизонтальные составляющие опорных реакций.
Для определения опорных реакций мы можем составить три уравнения статики, а наличие ключевого шарнира С позволяет составить дополнительное уравнение:
или
и определить все четыре опорные реакции.
Трехшарнирные системы могут быть симметричными и несимметричными
3)
Опорные шарниры А и В могут располагаться в одном уровне (рис.3) и могут располагаться в разных уровнях (рис.4) - такие системы называются ползучими арками или рамами.
4)
В практике часто встречаются системы, у которых распор воспринимается затяжкой:
5) 6)
арка с затяжкой арка с повышенной затяжкой
Если каждая полуарка выполнена в виде фермы, то такая система называется сквозной аркой или трехшарнирной фермой.
6)
Сплошные трехшарнирные арки. Определение опорных реакций.
При действии на арку внешней нагрузки, в каждой ее опоре возникают по две реакции: горизонтальная и вертикальная.
Для определения всех опорных реакций мы можем записать для плоской системы три уравнения статики и для трехшарнирной арки можно составить четвертое уравнение, приравняв к нулю сумму моментов правых либо левых сил относительно шарнира С.
Следовательно реакции определяются:
1) вертикальные реакции
Следовательно, вертикальные составляющие опорных реакций трехшарнирных систем, равны балочным.
2) горизонтальные реакции
HA = HB;
Если на трехшарнирную арку действует только вертикальная нагрузка, то распоры равны между собой
HA = HB = H
Чем больше стрела подъема арки, тем меньше распор.
Определение внутренних усилий в сечениях трехшарнирной арки
Внутренними усилиями, возникающими в поперечных стержнях арки, являются изгибающие моменты М, поперечные силы Q и продольные силы N.
Правило знаков
Изгибающие моменты в сечениях арок
Определим М в сечении I-I
- момент в сечении простой балки, расположенном под сечение арки, причем балка имеет тот же пролет и ту же нагрузку, что и арка.
Тогда изгибающий момент в любом сечении балки определяется
Мх = – H·y (1)
Из выражения (1) следует, что моменты в сечениях арки меньше моментов в соответствующих сечениях балки, следовательно, арка экономичнее балки и аркой можно перекрыть пролет гораздо больше, чем балкой.
Для определенного вида нагрузки можно подобрать такое очертание оси арки, что изгибающий момент М в любом сечении арки будет равен нулю. Такие арки называются арками с рациональным очертанием оси.
Уравнение оси арки рационального очертания.
Мх = – H·y = 0
Пример.
Пусть трехшарнирная арка загружена равномерно распределенной нагрузкой по всему пролету.
Тогда - уравнение квадратной параболы.