Пересечение поверхностей

Самыми сложными в группе позиционных задач оказываются задачи на пересечение поверхностей. Их сложность обуславливается тем, что приходится многократно решать более простые позиционные задачи, которые необходимо выделить, четко сформулировать, а затем уже решать.

Небольшая по объему теоретическая часть этого раздела дает необходимые, но достаточные сведения по построению линии пересечения поверхностей. Овладение искусством построения этих линий постигается на практике. Причем каждый раз может возникать какая-то своя нестандартная ситуация. Поэтому так важно наличие не только хороших знаний всего предыдущего теоретического материала, но и прочных навыков в решении задач, рассмотренных выше.

Результатом взаимного расположения двух поверхностей является некоторая линия, точки которой принадлежат одновременно обеим поверхностям. На плоской модели линию пересечения приходится строить по точкам. Чтобы правильно их соединить, нужно заранее знать, как она выглядит.

Для предварительного определения вида общей линии поверхностей разделим последние на два класса:

многогранные поверхности,

кривые поверхности второго порядка.

В результате пересечения этих поверхностей возникают следующие линии:

1. Если пересекаются два многогранника, то их общая линия представляет собой пространственную ломаную, которая состоит из прямых отрезков. Точки излома принадлежат ребрам многогранников.

2. При пересечении многогранника и кривой поверхности второго порядка возникает пространственная ломаная линия, которая состоит из дуг кривых второго порядка. Точки излома принадлежат ребрам многогранника.

3. Две кривые поверхности второго порядка в качестве общей линии имеют кривую четвертого порядка, которая может распадаться на две плоские кривые второго порядка.

Рассмотрим примеры пересечения двух многогранников (рис. 188). Пересечение двух плоских граней дает отрезок прямой, из совокупности этих отрезков образуются пространственные линии. Поскольку с учетом требований практики рассматриваются замкнутые поверхности, то эти совокупности представляют собой замкнутые линии. Количество замкнутых ломаных линий обычно не превышает двух. Начинать решение задачи рекомендуется с определения ребер, участвующих в пересечении.

Рис. 188. Пересечение многогранников общего положения

(эпюр Монжа)

В примере на рис. 189 пересекаются призма и пирамида. Каждая поверхность занимает общее положение. Отрезки AM, MC и BN, ND образуют общую линию этих поверхностей.

В точках A, B, C и D пересекаются стороны оснований, которые лежат в одной плоскости. Точки M и N определены в результате пересечения ребра l призмы с пирамидой.

Если одна из поверхностей занимает проецирующее положение, то одна из проекций линии пересечения тождественно совпадает с вырожденной проекцией поверхности. В задаче на рис. 189 вершина призмы содержит центр проецирования S₁. Ее первая проекция вырождается в линию, с которой совпадает первая проекция их общей линии. Для построения второй проекции достаточно провести линии связи. На соответствующих ребрах возникнут вторые проекции точек, принадлежащих линии пересечения.

Рис. 189. Пересечение многогранника общего положения с проецирующим многогранником (перспектива)

Если пересекаются многогранник и кривая поверхность второго порядка, то, как сказано выше, ломаную линию пересечения образуют дуги кривых второго порядка. В частности, на линии пересечения могут возникать отдельные прямые участки, а также замкнутые плоские кривые второго порядка.

Рис. 190. Пересечение проецирующей призмы с цилиндром (эпюр Монжа)

Все эти линии являются сечениями кривой поверхности плоскими гранями многогранника. В примере на рис. 190 построена линия пересечения проецирующей призмы с цилиндром. Она представляет собой замкнутую ломаную линию. Точки излома A, B, C и D принадлежат соответствующим ребрам призмы. Для их определения четыре раза решалась задача по пересечению прямой с поверхностью.

Через проецирующие ребра призмы a, b, c и d проведены секущие плоскости c, d и a, b, которые совпадают с гранями призмы. Они пересекают цилиндр по образующим k и l, которые, в свою очередь, пересекаясь с ребрами, дают упомянутые выше точки A, B, C и D. Чтобы определить характер кривых линий, по которым грани призмы пересекают цилиндр, придется несколько раз решать задачу на пересечение прямой с поверхностью. Например, пересечение образующей f с поверхностью призмы дает точки E и I.

Следует заметить, что множество вспомогательных секущих плоскостей образуют в данном случае пучок. Ось этого пучка – прямая i проходит через вершины поверхностей T и R. Еще одна плоскость γ в этом пучке позволила получить промежуточные точки M и N, которые также помогают выявить характер криволинейных участков линии пересечения.

При пересечении двух кривых поверхностей второго порядка в общем случае возникает кривая четвертого порядка. В частных случаях она может распадаться в различных сочетаниях на кривые третьего, второго порядка и прямые.

На рис. 191 приведен пример построения линии пересечения двух цилиндров. Все общие точки поверхностей найдены в результате пересечения образующих одного цилиндра с поверхностью другого. Характерными являются точки A, A *, B и С, которые расположены на очерковых образующих. Вспомогательные секущие плоскости, b, g, d, проходящие через эти образующие, целесообразно провести так, чтобы они рассекали и другой цилиндр также по образующим. В результате секущие плоскости образуют пучок с осью i, которая проходит через вершины цилиндров S₁ и Т. Плоскости этого пучка позволяют найти еще ряд точек, конкретизирующих характер линии пересечения (KÌ k, RÌ r). Плоскости a и e касаются цилиндра с вершиной S₁ по образующим d и f, которые, пересекаясь с другим цилиндром, дают точки D и F.

Рис. 191. Пересечение двух цилиндров (перспектива)

На рис. 192 цилиндр и конус имеют основания, лежащие в одной плоскости. Общие точки этих оснований А и В принадлежат линии пересечения заданных поверхностей. Эта линия представляет кривую четвертого порядка. Чтобы построить такую кривую, будем многократно решать задачу на пересечение двух прямых. Это прямолинейные образующие цилиндра и конуса. Каждую пару образующих получим, пересекая обе поверхности плоскостью, которая проходит одновременно через обе вершины поверхностей. В результате возникнет пучок секущих плоскостей с осью i = T È S₁. Пересечем i с плоскостью, которая содержит общее основание поверхностей, и получим точку M.

Построение линии пересечения начнем с опорных точек C и D, которые принадлежат очеркам поверхностей. Для этого в выделенном пучке плоскостей выберем плоскости, которые содержат указанные очерки (плоскости α и β). Точка D также является самой левой точкой линии пересечения. Самую ближнюю точку К получим, используя плоскость ζ. Плоскость γ позволяет определить одну из случайных точек.

Рис.192. Пересечение проецирующего цилиндра с конусом

Идея одновременного сечения поверхностей вспомогательными плоскостями широко используется для построения линии пересечения как линейчатых поверхностей, так и нелинейчатых. Основным критерием выбора секущих плоскостей является одновременное сечение поверхностей по графически простым линиям. Например, линия пересечения двух эллипсоидов построена по точкам, которые найдены в результате сечения обеих поверхностей по окружностям (рис. 193). Эти окружности получены при одновременном сечении каждой поверхности пучком параллельных плоскостей. Одна из таких плоскостей показана на рис. 193. На рис. 194 показано решение этой задачи на эпюре Монжа. Здесь кроме плоскости α используется еще плоскость β.

Рис. 193. Плоскость α одновременно рассекает оба эллипсоида по графически простым линиям

Рис. 194. Пересечение двух эллипсоидов

Контрольные вопросы

1. Какие задачи называются позиционными?

2. Перечислить и дать характеристику основным группам позиционных задач.

3. Перечислить операции алгоритма, который позволяет определить точку пересечения прямой с плоскостью.

4. Как видоизменяется этот алгоритм в случае, когда прямая или плоскость занимает проецирующее положение?

5. Перечислить операции алгоритма, который позволяет определить точку пересечения прямой с поверхностью.

6. Как видоизменяется этот алгоритм в случае, когда прямая или поверхность занимает проецирующее положение?

7. Как определяются точки, принадлежащие линии пересечения двух плоскостей?

8. Если одна из заданных плоскостей занимает проецирующее положение, то как это отражается на решении задачи?

9. Как изображается линия пересечения плоскостей в случае, когда обе эти плоскости проходят через один и тот же центр проецирования?

10. Что представляет собой линия пересечения двух многогранников?

11. Как выглядит линия пересечения многогранника и кривой поверхности второго порядка?

12. По какой линии пересекаются две кривые поверхности второго порядка?

13. Как распадается общая линия двух кривых поверхностей второго порядка?

14. Какие существуют критерии в выборе положения вспомогательных секущих плоскостей, которые упрощают решение задачи?

15. Перечислить условия, благодаря которым упрощается построение линии пересечения поверхностей.