Направление выпуклости кривой. Точки перегиба.

Раздел 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Справочный материал по теме

Производная функции

Пусть дана функция с областью определения D (f).

Если и Δ x ≠ 0 – приращение аргумента, такое, что х + Δ x

Опр. – приращение функции, в точке х, соответствующее приращению аргумента Δ x.

Опр. Производной функции называется предел разностного отношения при Δ x →0, если этот предел существует и конечен.

= < +∞ – производная функции в точке х => говорят, что дифференцируема в точке х.

Если = +∞, то говорят, что существует бесконечная производная функции в точке х.

Правила дифференцирования

1) , где с – const

2)

3)

4) , где с – const

5) , V ≠ 0

Таблица производных

1. – степенная функция; 2.

3. – показательная функция; 4.

5. ; 6.

7. ; 8.

9. ; 10.

11. ; 12.

13. ; 14

Производная сложной функции

Правило: Если у = f (z) дифференцируема в точке z, а z = φ (х) дифференцируема в точке х, то у = f (φ (х)) дифференцируема в точке х и или

Производные высших порядков

Опр. Производная второго порядка (вторая производная) от функции есть производная от её производной: .

Опр. Производная третьего порядка (третья производная) от функции есть производная от её второй производной: .

Опр. Производная n-го порядка (n - я производная) от функции есть производная от её (n – 1)-й производной: .

Производная неявной функции

Если функция задана уравнением, не разрешенным относительно у, то для нахождения производной у надо продифференцировать по х обе части этого уравнения, учитывая, что у есть функция от х, и затем разрешить полученное уравнение относительно у . Чтобы найти у , надо уравнение продифференцировать дважды по х и т. д.

Производная функции, заданной параметрически

Если зависимость функции у от независимой переменной х задана с помощью вспомогательной переменной (параметра) t:

то , .

Дифференциал функции

Опр. Дифференциалом dy функции называется главная часть её приращения, пропорциональная приращению Δ x независимой переменной х.

Дифференциал dх независимой переменной х равен её приращению Δ x:

dх = Δ x.

Дифференциал любой дифференцируемой функции равен произведению её производной на дифференциал независимой переменной:

dy = .

Если Δ x достаточно мало по абсолютной величине, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем Δ x, имеет место приближенное равенство: Δ у ≈ dy, или .

Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

Неопределенности вида и раскрываются по правилу Лопиталя.. Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а (за исключением, быть может, её самой), причем . Тогда если или , то при условии, что предел правой части равенства существует (правило Лопиталя). Это правило применимо и в том случае, когда .

Монотонность функции

Опр. Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Опр. Функция называется убывающей в некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Опр. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Опр. Функция называется кусочно-монотонной, если её область определения может быть представлена в виде объединения промежутков, на каждом из которых функция монотонна или постоянна.

Монотонность функции характеризуется знаком её производной, а именно:

1) > 0 на (а; b) возрастает на (а; b)

2) < 0 на (а; b) убывает на (а; b)

Следовательно, отыскание промежутком монотонности функции сводится к нахождению промежутков знакопостоянства её первоё производной .

Опр. Точка х₀ называется точкой максимума функции , если существует окрестность точки х₀ такая, что для всех х (х ≠ х₀) этой окрестности выполняется неравенство: .

Опр. Точка х₀ называется точкой минимума функции , если существует окрестность точки х₀ такая, что для всех х (х ≠ х₀) этой окрестности выполняется неравенство: .

Опр. Точки максимума и минимума функции называются точками её экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) – максимумом (минимумом) или экстремумом функции.

Точками экстремума могут служить только критические точки 1-го рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых первая производная обращается в нуль или терпит разрыв.

Точками экстремума являются лишь те из критических точек, при переходе через которые первая производная меняет знак, а именно, если при переходе через критическую точку х = х₀ слева направо знак меняется с плюса на минус (с минуса на плюс), то точка х = х₀ есть точка максимума (минимума).

В итоге получаем правило отыскания промежутков монотонности и экстремумов функции .

1. Найти область определения функции .

2. Найти нули и точки разрыва .

3. На числовой прямой отметить найденные точки с учетом области определения функции.

4. Определить знак в образовавшихся промежутках.

5. Сделать соответствующие выводы.

Следует отметить, что точки, в которых производная обращается в нуль, иногда проще исследовать на экстремум, выяснив знак второй производной в этих точках : точка х = х₀, в которой , а существует и отлична от нуля, является экстремальной, а именно, точкой максимума, если , и точкой минимума, если .

Направление выпуклости кривой. Точки перегиба.

Опр. Кривая называется выпуклой вверх (вниз) в некотором промежутке, если она расположена ниже (выше) касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.

Направление выпуклости кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком второй производной , а именно, если в некотором промежутке (), то кривая направлена выпуклостью вверх (вниз) в этом промежутке.

Таким образом, отыскание промежутков направления выпуклости графика функции сводится к нахождению промежутков знакопостоянства её второй производной .

Опр. Точкой перегиба кривой называется такая её точка, в которой происходит смена направления выпуклости.

Точками перегиба графика функции могут служить только точки, абсциссы которых являются критическими точками 2-го рода, т.е. точки, находящиеся внутри области определения функции , в которых вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв.

Точками перегиба графика функции являются лишь те из указанных точек, при переходе через которые вторая производная меняет знак.

Таким образом, получаем правило отыскания промежутков направления выпуклости и точек перегиба функции.

1. Найти область определения функции .

2. Найти нули и точки разрыва .

3. На числовой прямой отметить найденные точки с учетом области определения функции.

4. Определить знак в образовавшихся промежутках.

5. Сделать соответствующие выводы.